Номер 11, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 11, страница 47.

Условие.

11. Выделите квадрат двучлена из трёхчлена:

$a^2 + 16a + 27 = a^2 + 16a + 64 - 64 + 27 = (a + 8)^2 - 37$

a) $p^2 - 16p + 65 =$

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2 =$

в) $225p^2 - 30p + 2 =$

Решение.

Решение 2.

а) $p^2 - 16p + 65 =$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $p^2 - 16p + 65$ мы будем использовать формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Первый член нашего выражения, $p^2$, соответствует $a^2$ в формуле, следовательно, $a = p$.

Второй член, $-16p$, соответствует удвоенному произведению $-2ab$. Подставив $a=p$, получаем $-2pb = -16p$. Разделив обе части на $-2p$, находим, что $b=8$.

Чтобы получить полный квадрат, нам необходим член $b^2$, который равен $8^2 = 64$.

Мы можем добавить и вычесть 64 в исходном выражении, чтобы не изменить его значение:

$p^2 - 16p + 65 = p^2 - 16p + 64 - 64 + 65$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(p^2 - 16p + 64) - 64 + 65$

Выражение в скобках равно $(p-8)^2$. Выполним вычитание оставшихся чисел:

$(p-8)^2 + 1$

Ответ: $(p-8)^2 + 1$

б) $9a^2 + 12ab + 16b^2 =$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $9a^2 + 12ab + 16b^2$ мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член нашего выражения, $9a^2$, можно представить как $(3a)^2$. Следовательно, $x = 3a$.

Второй член, $12ab$, соответствует удвоенному произведению $2xy$. Подставив $x=3a$, получаем $2(3a)y = 12ab$, что упрощается до $6ay = 12ab$. Разделив обе части на $6a$, находим, что $y=2b$.

Для полного квадрата нам необходим член $y^2$, который равен $(2b)^2 = 4b^2$.

Мы можем разбить третий член исходного выражения $16b^2$ на сумму $4b^2 + 12b^2$:

$9a^2 + 12ab + 16b^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2 + 12b^2$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(9a^2 + 12ab + 4b^2) + 12b^2$

Выражение в скобках равно $(3a+2b)^2$.

$(3a+2b)^2 + 12b^2$

Ответ: $(3a+2b)^2 + 12b^2$

в) $225p^2 - 30p + 2 =$

Для выделения полного квадрата из трёхчлена $225p^2 - 30p + 2$ мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член нашего выражения, $225p^2$, можно представить как $(15p)^2$. Следовательно, $x = 15p$.

Второй член, $-30p$, соответствует удвоенному произведению $-2xy$. Подставив $x=15p$, получаем $-2(15p)y = -30p$, что упрощается до $-30py = -30p$. Разделив обе части на $-30p$, находим, что $y=1$.

Для полного квадрата нам необходим член $y^2$, который равен $1^2 = 1$.

Мы можем разбить третий член исходного выражения $2$ на сумму $1 + 1$:

$225p^2 - 30p + 2 = 225p^2 - 30p + 1 + 1$

Теперь сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат:

$(225p^2 - 30p + 1) + 1$

Выражение в скобках равно $(15p-1)^2$.

$(15p-1)^2 + 1$

Ответ: $(15p-1)^2 + 1$