Номер 4, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 4, страница 49.

Условие.

4. Найдите наибольшее или наименьшее значение выражения, если оно существует:

a) $(17 - 11x)(17 + 11x)=...................... ,$

значение равно ......................,

значения не существует;

б) $(\frac{1}{7}m - 16)(16 + \frac{1}{7}m)=...................... ,$

значение равно ......................,

значения не существует.

Решение.

Решение 2.

а)
1. Упростим данное выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a = 17$ и $b = 11x$.
$(17 - 11x)(17 + 11x) = 17^2 - (11x)^2 = 289 - 121x^2$.

2. Проанализируем полученное выражение $289 - 121x^2$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
Следовательно, выражение $121x^2$ также всегда неотрицательно: $121x^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $121x^2$ равно $0$ (при $x=0$).

3. Найдем наибольшее значение выражения.
Выражение $289 - 121x^2$ достигает своего наибольшего значения, когда вычитаемое $121x^2$ минимально.
Минимальное значение $121x^2$ равно $0$.
Таким образом, наибольшее значение всего выражения равно $289 - 0 = 289$.

4. Проверим, существует ли наименьшее значение.
Поскольку $x^2$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $121x^2$ может быть сколь угодно большим. Это означает, что выражение $289 - 121x^2$ может принимать сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) значения. Следовательно, наименьшего значения у выражения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 289, наименьшего значения не существует.

б)
1. Упростим данное выражение. Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(\frac{1}{7}m - 16)(16 + \frac{1}{7}m) = (\frac{1}{7}m - 16)(\frac{1}{7}m + 16)$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = \frac{1}{7}m$ и $b = 16$.
$(\frac{1}{7}m - 16)(\frac{1}{7}m + 16) = (\frac{1}{7}m)^2 - 16^2 = \frac{1}{49}m^2 - 256$.

2. Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{49}m^2 - 256$.
Выражение $m^2$ всегда неотрицательно, то есть $m^2 \ge 0$ для любого значения $m$.
Следовательно, выражение $\frac{1}{49}m^2$ также всегда неотрицательно: $\frac{1}{49}m^2 \ge 0$.
Наименьшее значение $\frac{1}{49}m^2$ равно $0$ (при $m=0$).

3. Найдем наименьшее значение выражения.
Выражение $\frac{1}{49}m^2 - 256$ достигает своего наименьшего значения, когда уменьшаемое $\frac{1}{49}m^2$ минимально.
Минимальное значение $\frac{1}{49}m^2$ равно $0$.
Таким образом, наименьшее значение всего выражения равно $0 - 256 = -256$.

4. Проверим, существует ли наибольшее значение.
Поскольку $m^2$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $\frac{1}{49}m^2$ может быть сколь угодно большим. Это означает, что выражение $\frac{1}{49}m^2 - 256$ может принимать сколь угодно большие значения. Следовательно, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -256, наибольшего значения не существует.