Номер 11, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 11, страница 51.

Условие.

11. Докажите, что при любом значении b:

а) значение выражения $\frac{1}{9}b^2 + \left(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b\right) + 2,75$ равно 3;

б) значение выражения $\left(3,2 - \frac{1}{4}b\right)(0,25b + 3,2) + \frac{1}{16}b^2$ равно 10,24.

Решение.

Решение 2.

а) Упростим выражение $\frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b) + 2,75$.
Произведение в скобках $(\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$ можно преобразовать, поменяв местами слагаемые в первой скобке: $(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}b)(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}b)$.
Это формула разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$, где $x=\frac{1}{2}$, а $y=\frac{1}{3}b$.
Применяем формулу: $(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{3}b)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2$.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
$\frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2) + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9}b^2 + 2,75$.
Приводим подобные слагаемые: $(\frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{9}b^2) + \frac{1}{4} + 2,75 = 0 + \frac{1}{4} + 2,75$.
Преобразуем дробь $\frac{1}{4}$ в десятичную $0,25$ и складываем: $0,25 + 2,75 = 3$.
Значение выражения не зависит от переменной $b$ и равно 3, что и требовалось доказать.
Ответ: 3

б) Упростим выражение $(3,2 - \frac{1}{4}b)(0,25b + 3,2) + \frac{1}{16}b^2$.
Преобразуем $0,25$ в обыкновенную дробь: $0,25 = \frac{1}{4}$.
Выражение примет вид: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(\frac{1}{4}b + 3,2) + \frac{1}{16}b^2$.
Поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(3,2 - \frac{1}{4}b)(3,2 + \frac{1}{4}b) + \frac{1}{16}b^2$.
Произведение в скобках — это формула разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=3,2$, а $y=\frac{1}{4}b$.
Применяем формулу: $(3,2)^2 - (\frac{1}{4}b)^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2$.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
$(10,24 - \frac{1}{16}b^2) + \frac{1}{16}b^2 = 10,24 - \frac{1}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2$.
Приводим подобные слагаемые: $10,24 + (-\frac{1}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2) = 10,24 + 0 = 10,24$.
Значение выражения не зависит от переменной $b$ и равно 10,24, что и требовалось доказать.
Ответ: 10,24