Номер 4, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 4, страница 54.

Условие.

4. Разложите на множители:

a) $16a^4 - b^4 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2) = ...$

б) $\frac{1}{81}x^4 - 0,01y^4 = ...$

Решение.

Решение 2.

а) Исходное выражение $16a^4 - b^4$ является разностью квадратов. В задании уже показан первый шаг разложения с использованием формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Представим $16a^4$ как $(4a^2)^2$ и $b^4$ как $(b^2)^2$.

$16a^4 - b^4 = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = (4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$

Продолжим разложение. Множитель $(4a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поскольку $4a^2 = (2a)^2$ и $b^2$ это квадрат $b$. Применим формулу разности квадратов еще раз:

$4a^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

Множитель $(4a^2 + b^2)$ является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.

Собрав все множители вместе, получаем окончательное разложение:

$(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - b)(2a + b)(4a^2 + b^2)$

б) Рассмотрим выражение $\frac{1}{81}x^4 - 0.01y^4$. Это также разность квадратов. Для удобства можно представить десятичную дробь $0.01$ как обыкновенную: $0.01 = \frac{1}{100}$.

Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$\frac{1}{81}x^4 = (\frac{1}{9}x^2)^2$

$0.01y^4 = (0.1y^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{1}{81}x^4 - 0.01y^4 = (\frac{1}{9}x^2)^2 - (0.1y^2)^2 = (\frac{1}{9}x^2 - 0.1y^2)(\frac{1}{9}x^2 + 0.1y^2)$

Теперь проанализируем полученные множители. Множитель $(\frac{1}{9}x^2 + 0.1y^2)$ является суммой квадратов и не может быть разложен далее на множители с действительными коэффициентами. Множитель $(\frac{1}{9}x^2 - 0.1y^2)$ является разностью квадратов, но $0.1$ не является квадратом рационального числа ($\sqrt{0.1}$ иррационально). В таких случаях разложение принято считать завершенным, если оно выполняется в поле рациональных чисел.

Ответ: $(\frac{1}{9}x^2 - 0.1y^2)(\frac{1}{9}x^2 + 0.1y^2)$