Номер 6, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 6, страница 54.

Условие.

6. Докажите, что при любом натуральном n:

а) значение выражения $ (n+13)^2-(n-12)^2 $ кратно 25;

б) значение выражения $ (4n+1)^2-(4n-3)^2 $ кратно 8.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(n+13)^2 - (n-12)^2$ кратно 25, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = n+13$ и $b = n-12$:

$(n+13)^2 - (n-12)^2 = ((n+13) - (n-12)) \cdot ((n+13) + (n-12))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:
Первая скобка: $n+13 - n + 12 = 25$
Вторая скобка: $n+13 + n - 12 = 2n+1$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения: $25 \cdot (2n+1)$.

По условию $n$ является натуральным числом, следовательно, выражение $2n+1$ всегда будет целым числом. Произведение числа 25 на любое целое число всегда делится на 25 без остатка.

Ответ: поскольку выражение равно $25(2n+1)$, а один из множителей равен 25, то значение выражения всегда кратно 25 при любом натуральном $n$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(4n+1)^2 - (4n-3)^2$ кратно 8, мы также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a = 4n+1$ и $b = 4n-3$:

$(4n+1)^2 - (4n-3)^2 = ((4n+1) - (4n-3)) \cdot ((4n+1) + (4n-3))$

Упростим выражения в скобках:
Первая скобка: $4n+1 - 4n + 3 = 4$
Вторая скобка: $4n+1 + 4n - 3 = 8n-2$

Получаем произведение: $4 \cdot (8n-2)$.

Для дальнейшего упрощения вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(4n-1) = 8(4n-1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то $4n-1$ всегда будет целым числом. Произведение числа 8 на любое целое число всегда кратно 8.

Ответ: поскольку выражение равно $8(4n-1)$, а один из множителей равен 8, то значение выражения всегда кратно 8 при любом натуральном $n$.