Номер 13, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 13, страница 57.

Условие.

13. На сторонах прямоугольника построены квадраты, площадь одного из которых на 39 см² больше площади другого. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 26 см.

Решение. .....................

......................

......................

......................

......................

Решение.

Решение 2.

Решение.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, периметр равен 26 см, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$2(a+b) = 26$

Разделив обе части на 2, получим:

$a+b = 13$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_1 = a^2$. Площадь квадрата со стороной $b$ равна $S_2 = b^2$. По условию, площадь одного из них на 39 см² больше площади другого. Пусть $a$ будет большей стороной, тогда:

$S_1 - S_2 = 39$

$a^2 - b^2 = 39$

Мы получили систему из двух уравнений:

$$\begin{cases} a+b=13 \\ a^2-b^2=39 \end{cases}$$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для второго уравнения:

$(a-b)(a+b) = 39$

Теперь подставим в это уравнение значение $a+b$ из первого уравнения системы:

$(a-b) \cdot 13 = 39$

Отсюда найдем $a-b$:

$a-b = \frac{39}{13}$

$a-b = 3$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$$\begin{cases} a+b=13 \\ a-b=3 \end{cases}$$

Сложим эти два уравнения:

$(a+b) + (a-b) = 13 + 3$

$2a = 16$

$a = 8$

Подставим найденное значение $a$ в любое из уравнений, например, в $a+b=13$:

$8+b=13$

$b=13-8$

$b=5$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 5 см.

Ответ: 8 см и 5 см.