Номер 8, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 8, страница 55.

Условие.

8. Разложите на множители:

а) $81a^4 - 1 = $

б) $0.0001x^4 - y^4 = $

Решение.

Решение 2.

а)

Для разложения на множители выражения $81a^4 - 1$ мы будем использовать формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $81a^4$ можно записать как $(9a^2)^2$, а $1$ можно записать как $1^2$.

Таким образом, мы можем применить формулу: $81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2 = (9a^2 - 1)(9a^2 + 1)$.

Теперь посмотрим на полученные множители. Множитель $(9a^2 + 1)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители в поле действительных чисел. Однако множитель $(9a^2 - 1)$ снова является разностью квадратов, так как $9a^2 = (3a)^2$ и $1 = 1^2$.

Применим формулу разности квадратов еще раз к выражению $(9a^2 - 1)$: $9a^2 - 1 = (3a)^2 - 1^2 = (3a - 1)(3a + 1)$.

Подставим полученное разложение обратно в наше выражение, чтобы получить окончательный ответ: $(9a^2 - 1)(9a^2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$.

Ответ: $(3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1)$

б)

Для разложения на множители выражения $0,0001x^4 - y^4$ мы также воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $0,0001x^4 = (0,01x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.

Применяем формулу: $0,0001x^4 - y^4 = (0,01x^2)^2 - (y^2)^2 = (0,01x^2 - y^2)(0,01x^2 + y^2)$.

Множитель $(0,01x^2 + y^2)$ является суммой квадратов и далее не раскладывается. Множитель $(0,01x^2 - y^2)$ является разностью квадратов, так как $0,01x^2 = (0,1x)^2$ и $y^2 = (y)^2$.

Применим формулу разности квадратов к выражению $(0,01x^2 - y^2)$: $0,01x^2 - y^2 = (0,1x)^2 - y^2 = (0,1x - y)(0,1x + y)$.

Теперь объединим все множители для получения окончательного результата: $(0,01x^2 - y^2)(0,01x^2 + y^2) = (0,1x - y)(0,1x + y)(0,01x^2 + y^2)$.

Ответ: $(0,1x - y)(0,1x + y)(0,01x^2 + y^2)$