Номер 12, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 12, страница 56.

Условие.

12. Докажите, что разность квадратов двух двузначных чисел, отличающихся лишь порядком цифр, делится на 99.

Решение.

Решение 2.

Пусть первое двузначное число представлено как $N_1 = 10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Второе двузначное число, $N_2$, отличается от первого только порядком цифр, следовательно, $N_2 = 10b + a$.

Для того чтобы оба числа были двузначными, необходимо, чтобы $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Рассмотрим разность квадратов этих двух чисел: $N_1^2 - N_2^2 = (10a + b)^2 - (10b + a)^2$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = \left( (10a + b) - (10b + a) \right) \cdot \left( (10a + b) + (10b + a) \right)$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок.

Разность чисел: $(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$.

Сумма чисел: $(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$.

Перемножим полученные результаты: $N_1^2 - N_2^2 = 9(a - b) \cdot 11(a + b) = 99(a-b)(a+b)$.

Результатом является выражение $99(a-b)(a+b)$. Так как $a$ и $b$ — это целые числа (цифры), то их разность $(a-b)$ и сумма $(a+b)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел $(a-b)(a+b)$ — это тоже целое число.

Следовательно, разность квадратов исходных чисел всегда равна произведению числа 99 на некоторое целое число. По определению, такое число всегда делится на 99 без остатка.

Ответ: Разность квадратов двух двузначных чисел ($10a+b$ и $10b+a$), отличающихся лишь порядком цифр, равна $(10a+b)^2 - (10b+a)^2 = 99(a-b)(a+b)$. Поскольку $a$ и $b$ являются целыми числами (цифрами), произведение $(a-b)(a+b)$ также является целым числом. Следовательно, результат всегда является произведением 99 на целое число, а значит, делится на 99. Что и требовалось доказать.