Номер 15, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 15, страница 58.

Условие.

15. Представьте выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители:

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3) = $

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) $m^2 - n^2 + 12(n - 3)$

Для начала, раскроем скобки в данном выражении:

$m^2 - n^2 + 12n - 36$

Теперь сгруппируем слагаемые. Видно, что члены $-n^2 + 12n - 36$ можно преобразовать в полный квадрат. Вынесем знак минус за скобки:

$m^2 - (n^2 - 12n + 36)$

Выражение в скобках, $n^2 - 12n + 36$, является полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=n$ и $y=6$, так как $n^2 - 2 \cdot n \cdot 6 + 6^2 = (n - 6)^2$.

Подставим полученный квадрат обратно в выражение:

$m^2 - (n - 6)^2$

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде разности квадратов. Теперь разложим его на множители, используя формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m^2 - (n - 6)^2 = (m - (n - 6))(m + (n - 6)) = (m - n + 6)(m + n - 6)$

Ответ: $(m - n + 6)(m + n - 6)$

б) $a^2 - 11b(2n + 11b) - n^2$

Сначала раскроем скобки в выражении:

$a^2 - 11b \cdot 2n - 11b \cdot 11b - n^2 = a^2 - 22bn - 121b^2 - n^2$

Перегруппируем слагаемые и вынесем знак минус за скобки у членов, не содержащих переменную $a$:

$a^2 - (n^2 + 22bn + 121b^2)$

Выражение в скобках, $n^2 + 22bn + 121b^2$, является полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=n$ и $y=11b$, так как $n^2 + 2 \cdot n \cdot (11b) + (11b)^2 = (n + 11b)^2$.

Подставим полученный квадрат обратно в выражение:

$a^2 - (n + 11b)^2$

Мы представили выражение в виде разности квадратов. Теперь разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$a^2 - (n + 11b)^2 = (a - (n + 11b))(a + (n + 11b)) = (a - n - 11b)(a + n + 11b)$

Ответ: $(a - n - 11b)(a + n + 11b)$