Номер 6, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 6, страница 60.

Условие.

6. Выполните разложение на множители:

$\frac{4}{27}x^3 + 0,004 = 4\left(\frac{1}{27}x^3 + 0,001\right) = 4\left(\frac{1}{3}x+0,1\right)\left(\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{30}x+0,01\right)$

a) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = $

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189 = $

Решение.

Решение 2.

a) $\frac{3}{8}x^3 - 24y^3$
Для разложения на множители сначала вынесем общий числовой коэффициент за скобки. Удобно вынести $\frac{3}{8}$.
$\frac{3}{8}x^3 - 24y^3 = \frac{3}{8} \left( \frac{\frac{3}{8}x^3}{\frac{3}{8}} - \frac{24y^3}{\frac{3}{8}} \right) = \frac{3}{8} \left( x^3 - 24 \cdot \frac{8}{3}y^3 \right) = \frac{3}{8}(x^3 - 64y^3)$.
Выражение в скобках $x^3 - 64y^3$ является разностью кубов, так как $x^3$ это куб $x$, а $64y^3$ это куб $4y$, то есть $(4y)^3$.
Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.
В данном случае $A=x$ и $B=4y$.
$x^3 - (4y)^3 = (x-4y)(x^2 + x \cdot 4y + (4y)^2) = (x-4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.
Подставляя полученное разложение обратно, получаем окончательный результат:
$\frac{3}{8}(x-4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.
Ответ: $\frac{3}{8}(x-4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

б) $-\frac{7}{64}a^3 + 189$
Сначала переставим слагаемые для удобства: $189 - \frac{7}{64}a^3$.
Теперь вынесем общий множитель $7$ за скобки, учитывая, что $189 = 7 \cdot 27$.
$189 - \frac{7}{64}a^3 = 7(27 - \frac{1}{64}a^3)$.
Выражение в скобках $27 - \frac{1}{64}a^3$ является разностью кубов, так как $27 = 3^3$ и $\frac{1}{64}a^3 = (\frac{1}{4}a)^3$.
Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$.
В данном случае $A=3$ и $B=\frac{1}{4}a$.
$3^3 - (\frac{1}{4}a)^3 = (3 - \frac{1}{4}a)(3^2 + 3 \cdot \frac{1}{4}a + (\frac{1}{4}a)^2) = (3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$.
Подставляя полученное разложение обратно, получаем окончательный результат:
$7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$.
Ответ: $7(3 - \frac{1}{4}a)(9 + \frac{3}{4}a + \frac{1}{16}a^2)$.