Номер 12, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 12, страница 61.

Условие.

12. Разложите на множители, используя формулы суммы или разности кубов:

а) $x^{3n} - y^{3n} =$

б) $a^{6k} + b^{6k} =$

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3} =$

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6} =$

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно формулами суммы и разности кубов:
Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

а) $x^{3n} - y^{3n}$
Представим данное выражение в виде разности кубов, используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$:
$x^{3n} = (x^n)^3$
$y^{3n} = (y^n)^3$
Таким образом, мы получаем выражение: $(x^n)^3 - (y^n)^3$.
Теперь применим формулу разности кубов, где в качестве $a$ выступает $x^n$, а в качестве $b$ выступает $y^n$:
$(x^n - y^n)((x^n)^2 + (x^n)(y^n) + (y^n)^2) = (x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$
Ответ: $(x^n - y^n)(x^{2n} + x^n y^n + y^{2n})$

б) $a^{6k} + b^{6k}$
Представим данное выражение в виде суммы кубов:
$a^{6k} = a^{2k \cdot 3} = (a^{2k})^3$
$b^{6k} = b^{2k \cdot 3} = (b^{2k})^3$
Получаем выражение: $(a^{2k})^3 + (b^{2k})^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a = a^{2k}$ и $b = b^{2k}$:
$(a^{2k} + b^{2k})((a^{2k})^2 - (a^{2k})(b^{2k}) + (b^{2k})^2) = (a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$
Ответ: $(a^{2k} + b^{2k})(a^{4k} - a^{2k}b^{2k} + b^{4k})$

в) $c^{3n+3} + d^{3n+3}$
Сначала преобразуем показатели степеней, вынеся общий множитель 3 за скобки:
$3n+3 = 3(n+1)$
Выражение можно записать как $c^{3(n+1)} + d^{3(n+1)}$.
Теперь представим его в виде суммы кубов:
$c^{3(n+1)} = (c^{n+1})^3$
$d^{3(n+1)} = (d^{n+1})^3$
Получаем: $(c^{n+1})^3 + (d^{n+1})^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a = c^{n+1}$ и $b = d^{n+1}$:
$(c^{n+1} + d^{n+1})((c^{n+1})^2 - c^{n+1}d^{n+1} + (d^{n+1})^2) = (c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2(n+1)} - c^{n+1}d^{n+1} + d^{2(n+1)}) = (c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - c^{n+1}d^{n+1} + d^{2n+2})$
Ответ: $(c^{n+1} + d^{n+1})(c^{2n+2} - c^{n+1}d^{n+1} + d^{2n+2})$

г) $x^{3k+6} + y^{3k+6}$
Преобразуем показатели степеней, вынеся общий множитель 3 за скобки:
$3k+6 = 3(k+2)$
Выражение принимает вид: $x^{3(k+2)} + y^{3(k+2)}$.
Представим его в виде суммы кубов:
$x^{3(k+2)} = (x^{k+2})^3$
$y^{3(k+2)} = (y^{k+2})^3$
Получаем: $(x^{k+2})^3 + (y^{k+2})^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a = x^{k+2}$ и $b = y^{k+2}$:
$(x^{k+2} + y^{k+2})((x^{k+2})^2 - x^{k+2}y^{k+2} + (y^{k+2})^2) = (x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2(k+2)} - x^{k+2}y^{k+2} + y^{2(k+2)}) = (x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - x^{k+2}y^{k+2} + y^{2k+4})$
Ответ: $(x^{k+2} + y^{k+2})(x^{2k+4} - x^{k+2}y^{k+2} + y^{2k+4})$