Номер 3, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 3, страница 63.

Условие.

3. Верно ли, что при любом целом $m$ значение выражения $(3m-8)(7+3m)-(3m-5)(3m+4)$ кратно 12?

Решение.

Решение 2.

Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения получится число или выражение, значение которого всегда делится на 12 нацело при любом целом $m$, то утверждение будет верным.

Исходное выражение:

$(3m - 8)(7 + 3m) - (3m - 5)(3m + 4)$

Шаг 1: Раскроем скобки в первом произведении, $(3m - 8)(7 + 3m)$.

$(3m - 8)(7 + 3m) = 3m \cdot 7 + 3m \cdot 3m - 8 \cdot 7 - 8 \cdot 3m = 21m + 9m^2 - 56 - 24m$

Приведем подобные слагаемые:

$9m^2 + (21m - 24m) - 56 = 9m^2 - 3m - 56$

Шаг 2: Раскроем скобки во втором произведении, $(3m - 5)(3m + 4)$.

$(3m - 5)(3m + 4) = 3m \cdot 3m + 3m \cdot 4 - 5 \cdot 3m - 5 \cdot 4 = 9m^2 + 12m - 15m - 20$

Приведем подобные слагаемые:

$9m^2 + (12m - 15m) - 20 = 9m^2 - 3m - 20$

Шаг 3: Подставим полученные многочлены в исходное выражение и выполним вычитание.

$(9m^2 - 3m - 56) - (9m^2 - 3m - 20)$

Раскроем скобки, изменив знаки всех слагаемых во втором многочлене на противоположные:

$9m^2 - 3m - 56 - 9m^2 + 3m + 20$

Шаг 4: Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(9m^2 - 9m^2) + (-3m + 3m) + (-56 + 20) = 0 + 0 - 36 = -36$

В результате упрощения мы выяснили, что значение исходного выражения не зависит от переменной $m$ и всегда равно -36.

Шаг 5: Проверим, кратно ли число -36 числу 12.

$-36 \div 12 = -3$

Поскольку -36 делится на 12 без остатка (результат является целым числом), то значение выражения всегда кратно 12.

Таким образом, утверждение, что при любом целом $m$ значение выражения кратно 12, является верным.

Ответ: да, верно.