Номер 11, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 11, страница 61.

Условие.

11. Докажите, что:

а) значение выражения $27^3 + 23^3$ делится на 5 и не делится на 9;

б) значение выражения $33^3 - 16^3$ делится на 17 и не делится на 11.

Решение.

Решение 2.

а) значение выражения $27^3+23^3$ делится на 5 и не делится на 9

Чтобы доказать это утверждение, мы проанализируем выражение $27^3+23^3$ на делимость на 5 и на 9 по отдельности.

1. Делимость на 5.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a=27$ и $b=23$:

$27^3+23^3 = (27+23)(27^2 - 27 \cdot 23 + 23^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$27+23 = 50$

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$50 \cdot (27^2 - 27 \cdot 23 + 23^2)$

Поскольку один из множителей (50) делится на 5 ($50 = 5 \cdot 10$), то и всё произведение делится на 5. Первая часть утверждения доказана.

2. Делимость на 9.

Чтобы проверить делимость на 9, рассмотрим каждое слагаемое в исходном выражении $27^3+23^3$ по отдельности.

Первое слагаемое, $27^3$. Число 27 делится на 9 нацело ($27 = 3 \cdot 9$). Следовательно, и $27^3$ делится на 9.

Второе слагаемое, $23^3$. Число 23 при делении на 9 дает остаток 5 ($23 = 2 \cdot 9 + 5$). Это можно записать с помощью сравнений по модулю: $23 \equiv 5 \pmod{9}$.

Тогда $23^3$ будет иметь тот же остаток при делении на 9, что и $5^3$:

$23^3 \equiv 5^3 \pmod{9}$

$5^3 = 125$.

Найдем остаток от деления 125 на 9: $125 = 13 \cdot 9 + 8$. Остаток равен 8.

Следовательно, $23^3 \equiv 8 \pmod{9}$.

Теперь вернемся к исходной сумме. Остаток от деления суммы на 9 равен сумме остатков:

$27^3+23^3 \equiv 0 + 8 \pmod{9}$

$27^3+23^3 \equiv 8 \pmod{9}$

Поскольку остаток от деления выражения на 9 равен 8 (а не 0), то выражение $27^3+23^3$ не делится на 9 нацело. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Утверждение доказано.

б) значение выражения $33^3-16^3$ делится на 17 и не делится на 11

Аналогично предыдущему пункту, проанализируем выражение $33^3-16^3$ на делимость на 17 и на 11.

1. Делимость на 17.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Применим эту формулу, где $a=33$ и $b=16$:

$33^3-16^3 = (33-16)(33^2 + 33 \cdot 16 + 16^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$33-16 = 17$

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$17 \cdot (33^2 + 33 \cdot 16 + 16^2)$

Поскольку один из множителей равен 17, то и всё произведение делится на 17. Первая часть утверждения доказана.

2. Делимость на 11.

Проверим делимость на 11, рассмотрев уменьшаемое и вычитаемое в выражении $33^3-16^3$.

Уменьшаемое, $33^3$. Число 33 делится на 11 нацело ($33 = 3 \cdot 11$). Следовательно, и $33^3$ делится на 11.

Вычитаемое, $16^3$. Число 16 при делении на 11 дает остаток 5 ($16 = 1 \cdot 11 + 5$). Запишем это с помощью сравнений по модулю: $16 \equiv 5 \pmod{11}$.

Тогда $16^3$ будет иметь тот же остаток при делении на 11, что и $5^3$:

$16^3 \equiv 5^3 \pmod{11}$

$5^3 = 125$.

Найдем остаток от деления 125 на 11: $125 = 11 \cdot 11 + 4$. Остаток равен 4.

Следовательно, $16^3 \equiv 4 \pmod{11}$.

Теперь вернемся к исходной разности. Остаток от деления разности на 11 равен разности остатков:

$33^3-16^3 \equiv 0 - 4 \pmod{11}$

$33^3-16^3 \equiv -4 \pmod{11}$

Так как остаток должен быть неотрицательным, прибавим к -4 модуль 11: $-4+11 = 7$.

$33^3-16^3 \equiv 7 \pmod{11}$

Поскольку остаток от деления выражения на 11 равен 7 (а не 0), то выражение $33^3-16^3$ не делится на 11 нацело. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Утверждение доказано.