Номер 8, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 8, страница 60.

Условие.

8. Выполните разложение двучлена $x^6 - 64$ на множители разными способами.

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 =$

$x^6 - 64 = (x^2)^3 - 4^3 =$

Решение.

Решение 2.

x⁶ – 64 = (x³)² – 8² = Рассматриваем выражение как разность квадратов. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b=8$:
$(x^3 - 8)(x^3 + 8)$
Полученные множители, в свою очередь, являются разностью и суммой кубов. Раскладываем их по соответствующим формулам:
Для разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$
Для суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$
Собираем все множители вместе и получаем окончательное разложение:
$(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$.

x⁶ – 64 = (x²)³ – 4³ = Рассматриваем выражение как разность кубов. Применяем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x^2$ и $b=4$:
$(x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2-4)(x^4 + 4x^2 + 16)$.
Теперь разложим каждый из полученных множителей:
Первый множитель $(x^2-4)$ — это разность квадратов: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Второй множитель $(x^4 + 4x^2 + 16)$ разложим методом выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $4x^2$:
$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2 = (x^2+4)^2 - (2x)^2$.
Теперь это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:
$(x^2+4-2x)(x^2+4+2x) = (x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$.
Собираем все множители вместе:
$(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$.
Ответ: $(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$.