Номер 13, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 13, страница 62.

Условие.

13. Разложите на множители:

a) $a^3 + a^2 - 4ab - 8b^3 + 4b^2 = \dots$

б) $x^3 + 2x^2 - 64y^3 + 32y^2 + 8xy = \dots$

Решение.

Решение 2.

а) $a^3 + a^2 - 4ab - 8b^3 + 4b^2$

Для разложения на множители данного многочлена применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, которые могут образовать известные формулы сокращенного умножения.

Перегруппируем члены выражения: $(a^3 - 8b^3) + (a^2 - 4ab + 4b^2)$.

Первая группа, $(a^3 - 8b^3)$, является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$a^3 - 8b^3 = a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + a(2b) + (2b)^2) = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)$.

Вторая группа, $(a^2 - 4ab + 4b^2)$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 4ab + 4b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a - 2b)^2$.

Теперь подставим разложенные группы обратно в выражение:

$(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b)^2$.

Мы получили сумму двух слагаемых, у которых есть общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - 2b) \cdot [ (a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b) ]$.

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные, если есть:

$(a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2)$.

Ответ: $(a - 2b)(a^2 + a + 2ab - 2b + 4b^2)$.

б) $x^3 + 2x^2 - 64y^3 + 32y^2 + 8xy$

Для разложения этого многочлена также используем метод группировки, выделив известные формулы.

Перегруппируем слагаемые: $(x^3 - 64y^3) + (2x^2 + 8xy + 32y^2)$.

Выражение в первой скобке, $(x^3 - 64y^3)$, является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 64y^3 = x^3 - (4y)^3 = (x - 4y)(x^2 + x(4y) + (4y)^2) = (x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

Во второй группе, $(2x^2 + 8xy + 32y^2)$, можно вынести общий числовой множитель 2 за скобки:

$2x^2 + 8xy + 32y^2 = 2(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

Подставим полученные выражения в сгруппированное выражение:

$(x - 4y)(x^2 + 4xy + 16y^2) + 2(x^2 + 4xy + 16y^2)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(x^2 + 4xy + 16y^2)$, который мы можем вынести за скобки:

$(x^2 + 4xy + 16y^2) \cdot [ (x - 4y) + 2 ]$.

Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид:

$(x^2 + 4xy + 16y^2)(x - 4y + 2)$.

Ответ: $(x - 4y + 2)(x^2 + 4xy + 16y^2)$.