Номер 10, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 10, страница 61.

Условие.

10. Укажите все натуральные числа, являющиеся делителями суммы:

a) $5^3 + 3^3 = $

искомые числа:

б) $8^3 + 6^3 = $

искомые числа:

в) $7^3 + 5^3 = $

искомые числа:

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти все натуральные делители суммы $5^3 + 3^3$, сначала вычислим эту сумму. Для удобства воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
$5^3 + 3^3 = (5+3)(5^2 - 5 \cdot 3 + 3^2) = 8 \cdot (25 - 15 + 9) = 8 \cdot 19 = 152$.
Теперь найдем все делители числа 152. Для этого разложим его на простые множители:
$152 = 8 \cdot 19 = 2^3 \cdot 19^1$.
Натуральные делители числа 152 — это все возможные произведения его простых множителей. Выпишем их в порядке возрастания:
$1, 2, 4, 8, 19, 2 \cdot 19, 4 \cdot 19, 8 \cdot 19$.
Это числа: 1, 2, 4, 8, 19, 38, 76, 152.
Ответ: 1, 2, 4, 8, 19, 38, 76, 152.

б) Вычислим сумму $8^3 + 6^3$. Сначала вынесем общий множитель за скобки:
$8^3 + 6^3 = (2 \cdot 4)^3 + (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 4^3 + 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot (4^3 + 3^3)$.
Теперь применим формулу суммы кубов к выражению в скобках:
$8 \cdot (4+3)(4^2 - 4 \cdot 3 + 3^2) = 8 \cdot 7 \cdot (16 - 12 + 9) = 8 \cdot 7 \cdot 13 = 728$.
Разложим число 728 на простые множители: $728 = 8 \cdot 7 \cdot 13 = 2^3 \cdot 7^1 \cdot 13^1$.
Натуральными делителями являются все возможные комбинации произведений этих множителей: $2^x \cdot 7^y \cdot 13^z$, где $x \in \{0, 1, 2, 3\}$, $y \in \{0, 1\}$, $z \in \{0, 1\}$.
Выпишем все 16 делителей в порядке возрастания: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.
Ответ: 1, 2, 4, 7, 8, 13, 14, 26, 28, 52, 56, 91, 104, 182, 364, 728.

в) Вычислим сумму $7^3 + 5^3$, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:
$7^3 + 5^3 = (7+5)(7^2 - 7 \cdot 5 + 5^2) = 12 \cdot (49 - 35 + 25) = 12 \cdot (14 + 25) = 12 \cdot 39 = 468$.
Разложим число 468 на простые множители. Для этого разложим каждый из множителей (12 и 39):
$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$39 = 3 \cdot 13$
Следовательно, $468 = 12 \cdot 39 = (2^2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^1$.
Натуральными делителями являются все возможные комбинации произведений этих множителей: $2^x \cdot 3^y \cdot 13^z$, где $x \in \{0, 1, 2\}$, $y \in \{0, 1, 2\}$, $z \in \{0, 1\}$.
Всего делителей будет $(2+1)(2+1)(1+1) = 18$. Выпишем их в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 18, 26, 36, 39, 52, 78, 117, 156, 234, 468.