Номер 7, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 7, страница 60.

Условие.

7. Докажите, что значение выражения:

а) $143^3 + 107^3$ делится на 250;

б) $767^3 - 167^3$ делится на 300.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что выражение $143^3 + 107^3$ делится на 250, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a = 143$ и $b = 107$. Подставим эти значения в формулу: $143^3 + 107^3 = (143 + 107)(143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$. Вычислим сумму в первой скобке: $143 + 107 = 250$. Теперь наше выражение выглядит так: $250 \cdot (143^2 - 143 \cdot 107 + 107^2)$. Поскольку один из множителей в произведении равен 250, а второй множитель является целым числом, то всё выражение делится на 250.
Ответ: Доказано, что значение выражения $143^3 + 107^3$ делится на 250.

б) Чтобы доказать, что выражение $767^3 - 167^3$ делится на 300, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a = 767$ и $b = 167$. Подставим значения в формулу: $767^3 - 167^3 = (767 - 167)(767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$. Вычислим разность в первой скобке: $767 - 167 = 600$. Выражение принимает вид: $600 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$. Число 600 можно представить как $2 \cdot 300$. Тогда выражение равно: $2 \cdot 300 \cdot (767^2 + 767 \cdot 167 + 167^2)$. Так как один из множителей равен 300, а остальные множители — целые числа, то всё произведение делится на 300.
Ответ: Доказано, что значение выражения $767^3 - 167^3$ делится на 300.