Номер 16, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 16, страница 58.

Условие.

16. Преобразуйте выражение в произведение:

а) $x^{4m} - y^{2n} =$

б) $a^{4n+2} - b^{2n+4} =$

в) $81a^{6n-12} - 49b^{4n-8} =$

г) $0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4} =$

Решение.

Решение 2.

а) Для преобразования данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата, используя свойство степени $(a^k)^m = a^{km}$:
$x^{4m} = (x^{2m})^2$
$y^{2n} = (y^n)^2$
Теперь исходное выражение можно записать как разность квадратов: $(x^{2m})^2 - (y^n)^2$.
Применяем формулу, где $A = x^{2m}$ и $B = y^n$:
$(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$.
Ответ: $(x^{2m} - y^n)(x^{2m} + y^n)$.

б) Это выражение также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата:
$a^{4n+2} = a^{2(2n+1)} = (a^{2n+1})^2$
$b^{2n+4} = b^{2(n+2)} = (b^{n+2})^2$
Подставив эти представления в исходное выражение, получим: $(a^{2n+1})^2 - (b^{n+2})^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $A = a^{2n+1}$ и $B = b^{n+2}$:
$(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$.
Ответ: $(a^{2n+1} - b^{n+2})(a^{2n+1} + b^{n+2})$.

в) Снова используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим каждый член выражения как полный квадрат:
$81a^{6n-12} = 9^2 \cdot a^{2(3n-6)} = (9a^{3n-6})^2$
$49b^{4n-8} = 7^2 \cdot b^{2(2n-4)} = (7b^{2n-4})^2$
Выражение принимает вид разности квадратов: $(9a^{3n-6})^2 - (7b^{2n-4})^2$.
Применяем формулу, где $A = 9a^{3n-6}$ и $B = 7b^{2n-4}$:
$(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$.
Ответ: $(9a^{3n-6} - 7b^{2n-4})(9a^{3n-6} + 7b^{2n-4})$.

г) В данном выражении переменная $y$ содержится в обоих членах. Сначала вынесем общий множитель $y$ в наименьшей из имеющихся степеней за скобки. Наименьшая степень это $2n-4$.
$0,16y^{4n-6} - 0,25y^{2n-4} = y^{2n-4} \cdot (0,16y^{(4n-6)-(2n-4)} - 0,25)$
Упростим показатель степени в скобках: $(4n-6)-(2n-4) = 4n-6-2n+4 = 2n-2$.
Получим выражение: $y^{2n-4}(0,16y^{2n-2} - 0,25)$.
Теперь выражение в скобках можно разложить по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим члены в скобках в виде квадратов:
$0,16y^{2n-2} = (0,4)^2 \cdot y^{2(n-1)} = (0,4y^{n-1})^2$
$0,25 = (0,5)^2$
Выражение в скобках принимает вид: $(0,4y^{n-1})^2 - (0,5)^2$.
Применяем формулу, где $A = 0,4y^{n-1}$ и $B = 0,5$:
$(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$.
Таким образом, итоговое произведение равно:
$y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$.
Ответ: $y^{2n-4}(0,4y^{n-1} - 0,5)(0,4y^{n-1} + 0,5)$.