Номер 10, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 10, страница 55.

Условие.

10. Докажите, что при любом целом n:

а) значение выражения $(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 15;

б) значение выражения $(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 24;

в) значение выражения $(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2$ делится на 16.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 15 при любом целом $n$, воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 8n + 4$ и $b = 2n + 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(8n + 4)^2 - (2n + 1)^2 = ((8n + 4) - (2n + 1))((8n + 4) + (2n + 1))$

Упростим выражения в каждой скобке:

Первая скобка: $(8n + 4 - 2n - 1) = (6n + 3)$

Вторая скобка: $(8n + 4 + 2n + 1) = (10n + 5)$

Таким образом, исходное выражение равно произведению $(6n + 3)(10n + 5)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Из первой скобки вынесем 3: $6n + 3 = 3(2n + 1)$

Из второй скобки вынесем 5: $10n + 5 = 5(2n + 1)$

Получаем: $3(2n + 1) \cdot 5(2n + 1) = 15(2n + 1)^2$.

Поскольку $n$ — целое число, то $(2n + 1)$ также является целым числом, и его квадрат $(2n + 1)^2$ — тоже целое число. Следовательно, выражение $15(2n + 1)^2$, содержащее множитель 15, всегда делится на 15 без остатка при любом целом $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2$ делится на 24 при любом целом $n$, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 10n + 5$ и $b = 2n + 1$.

Разложим выражение на множители:

$(10n + 5)^2 - (2n + 1)^2 = ((10n + 5) - (2n + 1))((10n + 5) + (2n + 1))$

Упростим содержимое скобок:

Первая скобка: $(10n + 5 - 2n - 1) = (8n + 4)$

Вторая скобка: $(10n + 5 + 2n + 1) = (12n + 6)$

Получаем произведение $(8n + 4)(12n + 6)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Из первой скобки вынесем 4: $8n + 4 = 4(2n + 1)$

Из второй скобки вынесем 6: $12n + 6 = 6(2n + 1)$

Перемножим полученные выражения: $4(2n + 1) \cdot 6(2n + 1) = 24(2n + 1)^2$.

Так как $n$ — целое число, то $(2n + 1)$ — целое число, и $(2n + 1)^2$ — также целое число. Значит, произведение $24(2n + 1)^2$ всегда кратно 24 при любом целом $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2$ делится на 16 при любом целом $n$, снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 10n + 5$ и $b = 6n + 3$.

Подставим в формулу:

$(10n + 5)^2 - (6n + 3)^2 = ((10n + 5) - (6n + 3))((10n + 5) + (6n + 3))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(10n + 5 - 6n - 3) = (4n + 2)$

Вторая скобка: $(10n + 5 + 6n + 3) = (16n + 8)$

Получили произведение $(4n + 2)(16n + 8)$.

Вынесем общие множители:

Из первой скобки вынесем 2: $4n + 2 = 2(2n + 1)$

Из второй скобки вынесем 8: $16n + 8 = 8(2n + 1)$

Перемножим: $2(2n + 1) \cdot 8(2n + 1) = 16(2n + 1)^2$.

Поскольку $n$ — целое число, то $(2n + 1)$ и $(2n + 1)^2$ также являются целыми числами. Следовательно, выражение $16(2n + 1)^2$, имеющее множитель 16, всегда делится на 16 при любом целом $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.