Номер 11, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 31. Разложение разности квадратов на множители - номер 11, страница 56.

Условие.

11. Докажите, что если каждое из чисел $a$ и $b$ не делится на 3, то разность их квадратов делится на 3.

Решение.

Решение 2.

По условию, каждое из чисел $a$ и $b$ не делится на 3. Любое целое число, которое не делится на 3, при делении на 3 дает в остатке либо 1, либо 2. Следовательно, такое число $n$ можно представить в виде $n=3k+1$ или $n=3k+2$, где $k$ — некоторое целое число.

Рассмотрим, какой остаток дает квадрат такого числа при делении на 3.

1. Если число имеет вид $3k+1$, то его квадрат равен:
$(3k+1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
В этом случае остаток от деления на 3 равен 1.

2. Если число имеет вид $3k+2$, то его квадрат равен:
$(3k+2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
В этом случае остаток от деления на 3 также равен 1.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого целого числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает в остатке 1.

Поскольку по условию ни $a$, ни $b$ не делятся на 3, то их квадраты $a^2$ и $b^2$ при делении на 3 дают в остатке 1. Это означает, что существуют такие целые числа $p$ и $q$, что:
$a^2 = 3p+1$
$b^2 = 3q+1$

Теперь найдем разность их квадратов:
$a^2 - b^2 = (3p+1) - (3q+1) = 3p + 1 - 3q - 1 = 3p - 3q = 3(p-q)$.

Так как $p$ и $q$ — целые числа, то их разность $(p-q)$ также является целым числом. Следовательно, выражение $3(p-q)$ делится нацело на 3. Это доказывает, что $a^2 - b^2$ делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано.