Номер 1, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 1, страница 58.

Условие.

1. Преобразуйте в многочлен выражение:

a) $(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2)=$

б) $(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2)=$

в) $(2a - 7)(4a^2 + 14a + 49)=$

г) $(-1 + 6m)(1 + 6m + 36m^2)=$

Решение.

Решение 2.

а) Данное выражение соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$.
В данном случае, $a = x$ и $b = 4y$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(x^2 - 4xy + 16y^2)$ части формулы $(a^2-ab+b^2)$:

• $a^2 = x^2$
• $ab = x \cdot 4y = 4xy$
• $b^2 = (4y)^2 = 16y^2$

Все компоненты совпадают. Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(x + 4y)(x^2 - 4xy + 16y^2) = x^3 + (4y)^3 = x^3 + 64y^3$.
Ответ: $x^3 + 64y^3$.

б) Это выражение является формулой "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
В данном примере, $a = a$ и $b = 3b$.
Проверим вторую скобку $(a^2 + 3ab + 9b^2)$ на соответствие части формулы $(a^2+ab+b^2)$:

• $a^2 = a^2$
• $ab = a \cdot 3b = 3ab$
• $b^2 = (3b)^2 = 9b^2$

Все компоненты совпадают. Применяем формулу разности кубов:
$(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) = a^3 - (3b)^3 = a^3 - 27b^3$.
Ответ: $a^3 - 27b^3$.

в) Это выражение также преобразуется по формуле "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
Здесь $a = 2a$ и $b = 7$.
Проверим вторую скобку $(4a^2 + 14a + 49)$ на соответствие части формулы $(a^2+ab+b^2)$:

• $a^2 = (2a)^2 = 4a^2$
• $ab = 2a \cdot 7 = 14a$
• $b^2 = 7^2 = 49$

Все компоненты совпадают. Таким образом:
$(2a - 7)(4a^2 + 14a + 49) = (2a)^3 - 7^3 = 8a^3 - 343$.
Ответ: $8a^3 - 343$.

г) Переставим слагаемые в первой скобке для удобства: $(-1 + 6m) = (6m - 1)$.
Выражение принимает вид: $(6m - 1)(1 + 6m + 36m^2)$.
Переставим слагаемые и во второй скобке: $(6m - 1)(36m^2 + 6m + 1)$.
Это формула "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$.
Здесь $a = 6m$ и $b = 1$.
Проверим вторую скобку $(36m^2 + 6m + 1)$ на соответствие части формулы $(a^2+ab+b^2)$:

• $a^2 = (6m)^2 = 36m^2$
• $ab = 6m \cdot 1 = 6m$
• $b^2 = 1^2 = 1$

Все компоненты совпадают. Применяем формулу:
$(6m - 1)(36m^2 + 6m + 1) = (6m)^3 - 1^3 = 216m^3 - 1$.
Ответ: $216m^3 - 1$.