Номер 3, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 3, страница 59.

Условие.

3. Представьте выражение в виде суммы или разности кубов и разложите его на множители:

a) $x^3 - 8 = ...$

б) $8a^3 + 1 = ...$

в) $0.001x^3 - y^3 = ...$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы разложить выражение $x^3 - 8$ на множители, представим его в виде разности кубов. Первый член $x^3$ уже является кубом переменной $x$. Второй член $8$ можно представить как куб числа $2$, поскольку $2^3 = 8$. Таким образом, выражение принимает вид $x^3 - 2^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 2$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2)$

Упростим выражение в правой скобке:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Ответ: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

б) Чтобы разложить выражение $8a^3 + 1$ на множители, представим его в виде суммы кубов. Первый член $8a^3$ можно представить как $(2a)^3$, так как $2^3 \cdot a^3 = 8a^3$. Второй член $1$ является кубом самого себя, то есть $1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(2a)^3 + 1^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $u^3 + v^3 = (u + v)(u^2 - uv + v^2)$.

В нашем случае $u = 2a$ и $v = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$(2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)((2a)^2 - (2a) \cdot 1 + 1^2)$

Упростим выражение в правой скобке:

$(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$

Ответ: $(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$

в) Чтобы разложить выражение $0,001x^3 - y^3$ на множители, представим его в виде разности кубов. Первый член $0,001x^3$ можно представить как $(0,1x)^3$, поскольку $(0,1)^3 \cdot x^3 = 0,001x^3$. Второй член $y^3$ уже является кубом переменной $y$. Таким образом, выражение принимает вид $(0,1x)^3 - y^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 0,1x$ и $b = y$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$(0,1x)^3 - y^3 = (0,1x - y)((0,1x)^2 + (0,1x) \cdot y + y^2)$

Упростим выражение в правой скобке:

$(0,1x - y)(0,01x^2 + 0,1xy + y^2)$

Ответ: $(0,1x - y)(0,01x^2 + 0,1xy + y^2)$