Номер 2, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 2, страница 59.

Условие.

2. Представьте в виде многочлена:

$(\frac{1}{5}x^2 + \frac{1}{3}y)(\frac{1}{25}x^4 - \frac{1}{15}x^2y + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{5}x^2)^3 + (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{125}x^6 + \frac{1}{27}y^3$

а) $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2) = \dots$

б) $(0.4a^6 + 0.5b^8)(0.16a^{12} + 0.25b^{16} - 0.2a^6b^8) = \dots$

Решение.

Решение 2.

a) Исходное выражение: $(\frac{1}{7}m^6 - \frac{7}{9}n)(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2)$.
Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Определим $a$ и $b$ для нашего случая:
$a = \frac{1}{7}m^6$
$b = \frac{7}{9}n$
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель в исходном выражении члену $(a^2 + ab + b^2)$:
$a^2 = (\frac{1}{7}m^6)^2 = \frac{1^2}{7^2}(m^6)^2 = \frac{1}{49}m^{12}$
$ab = (\frac{1}{7}m^6)(\frac{7}{9}n) = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 9}m^6n = \frac{1}{9}m^6n$
$b^2 = (\frac{7}{9}n)^2 = \frac{7^2}{9^2}n^2 = \frac{49}{81}n^2$
Второй множитель $(\frac{1}{49}m^{12} + \frac{1}{9}m^6n + \frac{49}{81}n^2)$ действительно равен $(a^2 + ab + b^2)$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов, чтобы упростить выражение до $a^3 - b^3$:
$(\frac{1}{7}m^6)^3 - (\frac{7}{9}n)^3 = (\frac{1}{7})^3(m^6)^3 - (\frac{7}{9})^3n^3 = \frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.
Ответ: $\frac{1}{343}m^{18} - \frac{343}{729}n^3$.

б) Исходное выражение: $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} + 0,25b^{16} - 0,2a^6b^8)$.
Для наглядности переставим слагаемые во втором множителе: $(0,4a^6 + 0,5b^8)(0,16a^{12} - 0,2a^6b^8 + 0,25b^{16})$.
Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Определим $a$ и $b$ для нашего случая:
$a = 0,4a^6$
$b = 0,5b^8$
Теперь проверим, соответствует ли второй множитель члену $(a^2 - ab + b^2)$:
$a^2 = (0,4a^6)^2 = 0,4^2(a^6)^2 = 0,16a^{12}$
$ab = (0,4a^6)(0,5b^8) = (0,4 \cdot 0,5)a^6b^8 = 0,2a^6b^8$
$b^2 = (0,5b^8)^2 = 0,5^2(b^8)^2 = 0,25b^{16}$
Второй множитель $(0,16a^{12} - 0,2a^6b^8 + 0,25b^{16})$ действительно равен $(a^2 - ab + b^2)$.
Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов, чтобы упростить выражение до $a^3 + b^3$:
$(0,4a^6)^3 + (0,5b^8)^3 = (0,4)^3(a^6)^3 + (0,5)^3(b^8)^3 = 0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.
Ответ: $0,064a^{18} + 0,125b^{24}$.