Номер 4, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 4, страница 59.

Условие.

4. Разложите на множители:

а) $8m^3 - n^3 =$

б) $a^3 + 27b^3 =$

в) $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3 =$

Решение.

Решение 2.

а) Для разложения на множители выражения $8m^3 - n^3$ используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Сначала представим выражение в виде разности кубов. Мы видим, что $8m^3$ можно записать как $(2m)^3$.
Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $(2m)^3 - n^3$.
Здесь $x = 2m$ и $y = n$.
Теперь применим формулу, подставив наши значения:
$(2m - n)((2m)^2 + (2m)(n) + n^2) = (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.
Ответ: $(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.

б) Для разложения на множители выражения $a^3 + 27b^3$ используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $27b^3$ можно записать как $(3b)^3$.
Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $a^3 + (3b)^3$.
Здесь $x = a$ и $y = 3b$.
Теперь применим формулу, подставив наши значения:
$(a + 3b)(a^2 - a \cdot 3b + (3b)^2) = (a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$.
Ответ: $(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$.

в) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{8}m^3 + \frac{1}{27}n^3$ также используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $\frac{1}{8}m^3 = (\frac{1}{2}m)^3$ и $\frac{1}{27}n^3 = (\frac{1}{3}n)^3$.
Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $(\frac{1}{2}m)^3 + (\frac{1}{3}n)^3$.
Здесь $x = \frac{1}{2}m$ и $y = \frac{1}{3}n$.
Теперь применим формулу, подставив наши значения:
$(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)((\frac{1}{2}m)^2 - (\frac{1}{2}m)(\frac{1}{3}n) + (\frac{1}{3}n)^2) = (\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}n)(\frac{1}{4}m^2 - \frac{1}{6}mn + \frac{1}{9}n^2)$.