Номер 9, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 9, страница 60.

Условие.

9. Упростите выражение:

а) $(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2)(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4) - \frac{1}{343}y^6 = $

б) $(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b)(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2) + \frac{8}{27}b^3 = $

Решение.

Решение 2.

а) $ \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{7}y^2\right)\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) - \frac{1}{343}y^6 = $

Для упрощения произведения первых двух скобок воспользуемся формулой суммы кубов: $ (A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3 $.

В нашем случае, пусть $ A = \frac{1}{2}x^2 $ и $ B = \frac{1}{7}y^2 $. Тогда первая скобка соответствует $ A+B $. Проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ A^2 - AB + B^2 $.

Найдем $ A^2 $, $ AB $ и $ B^2 $:

$ A^2 = \left(\frac{1}{2}x^2\right)^2 = \frac{1}{4}x^4 $

$ AB = \left(\frac{1}{2}x^2\right) \cdot \left(\frac{1}{7}y^2\right) = \frac{1}{14}x^2y^2 $

$ B^2 = \left(\frac{1}{7}y^2\right)^2 = \frac{1}{49}y^4 $

Вторая скобка $ \left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{14}x^2y^2 + \frac{1}{49}y^4\right) $ полностью соответствует выражению $ (A^2 - AB + B^2) $.

Следовательно, произведение скобок равно $ A^3 + B^3 $:

$ \left(\frac{1}{2}x^2\right)^3 + \left(\frac{1}{7}y^2\right)^3 = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6\right) - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{343}y^6 - \frac{1}{343}y^6 = \frac{1}{8}x^6 $.

Ответ: $ \frac{1}{8}x^6 $

б) $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2 + \frac{1}{144}a^2\right) + \frac{8}{27}b^3 = $

Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $ \left(\frac{1}{12}a - \frac{2}{3}b\right)\left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) + \frac{8}{27}b^3 $.

Для упрощения произведения скобок воспользуемся формулой разности кубов: $ (A-B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3 $.

В нашем случае, пусть $ A = \frac{1}{12}a $ и $ B = \frac{2}{3}b $. Тогда первая скобка соответствует $ A-B $. Проверим, соответствует ли вторая скобка выражению $ A^2 + AB + B^2 $.

Найдем $ A^2 $, $ AB $ и $ B^2 $:

$ A^2 = \left(\frac{1}{12}a\right)^2 = \frac{1}{144}a^2 $

$ AB = \left(\frac{1}{12}a\right) \cdot \left(\frac{2}{3}b\right) = \frac{2}{36}ab = \frac{1}{18}ab $

$ B^2 = \left(\frac{2}{3}b\right)^2 = \frac{4}{9}b^2 $

Вторая скобка $ \left(\frac{1}{144}a^2 + \frac{1}{18}ab + \frac{4}{9}b^2\right) $ полностью соответствует выражению $ (A^2 + AB + B^2) $.

Следовательно, произведение скобок равно $ A^3 - B^3 $:

$ \left(\frac{1}{12}a\right)^3 - \left(\frac{2}{3}b\right)^3 = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 $.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3\right) + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 - \frac{8}{27}b^3 + \frac{8}{27}b^3 = \frac{1}{1728}a^3 $.

Ответ: $ \frac{1}{1728}a^3 $