Номер 14, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 32. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 14, страница 62.

Условие.

14. Докажите, что:

а) значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23;

б) значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $6^3 \cdot 2^6 - 1$ кратно 23, преобразуем его, используя свойства степеней.
Представим $2^6$ в виде степени с показателем 3:
$2^6 = 2^{2 \cdot 3} = (2^2)^3 = 4^3$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$6^3 \cdot 2^6 - 1 = 6^3 \cdot 4^3 - 1$.
Используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, получаем:
$6^3 \cdot 4^3 - 1 = (6 \cdot 4)^3 - 1 = 24^3 - 1$.
Выражение $24^3 - 1$ можно представить как $24^3 - 1^3$. Это разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Применим эту формулу для $a=24$ и $b=1$:
$24^3 - 1^3 = (24-1)(24^2 + 24 \cdot 1 + 1^2) = 23 \cdot (576 + 24 + 1) = 23 \cdot 601$.
Поскольку одним из множителей в полученном произведении является число 23, то и все выражение кратно 23.
Ответ: что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $5^3 \cdot 6^3 - 3^6$ кратно 21, преобразуем его.
Сначала воспользуемся свойством $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для первого члена:
$5^3 \cdot 6^3 = (5 \cdot 6)^3 = 30^3$.
Теперь представим $3^6$ в виде степени с показателем 3:
$3^6 = 3^{2 \cdot 3} = (3^2)^3 = 9^3$.
Выражение принимает вид разности кубов:
$30^3 - 9^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=30$ и $b=9$:
$30^3 - 9^3 = (30-9)(30^2 + 30 \cdot 9 + 9^2) = 21 \cdot (900 + 270 + 81) = 21 \cdot 1251$.
Поскольку одним из множителей в полученном произведении является число 21, то и все выражение кратно 21.
Ответ: что и требовалось доказать.