Номер 2, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 2, страница 62.

Условие.

2. Докажите, что при любом целом $m$ значение выражения $(m+1)(m+3)-(1-7m)(1+7m)-(2-m)$ кратно 5.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 5 при любом целом $m$, упростим данное выражение.

Исходное выражение: $(m+1)(m+3)-(1-7m)(1+7m)-(2-m)$.

Выполним преобразования по частям:

1. Раскроем произведение первых двух скобок:

$(m+1)(m+3) = m^2 + 3m + m + 3 = m^2 + 4m + 3$.

2. Раскроем произведение следующих двух скобок, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(1-7m)(1+7m) = 1^2 - (7m)^2 = 1 - 49m^2$.

3. Раскроем последние скобки:

$-(2-m) = -2 + m$.

Теперь подставим все упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(m^2 + 4m + 3) - (1 - 49m^2) - (2 - m)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$m^2 + 4m + 3 - 1 + 49m^2 + m - 2 = (m^2 + 49m^2) + (4m + m) + (3 - 1 - 2) = 50m^2 + 5m$.

Полученное выражение $50m^2 + 5m$ можно преобразовать, вынеся общий множитель 5 за скобки:

$5(10m^2 + m)$.

По условию, $m$ является целым числом. Это означает, что $m^2$ — целое число, $10m^2$ — целое число, и сумма $10m^2 + m$ — также целое число. Обозначим это целое число как $k$, то есть $k = 10m^2 + m$.

Тогда наше выражение можно записать в виде $5k$, где $k$ — целое число. Любое число, которое можно представить в таком виде, по определению делится на 5.

Следовательно, мы доказали, что значение исходного выражения кратно 5 при любом целом значении $m$.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $50m^2+5m$, что равно $5(10m^2+m)$. Поскольку при любом целом $m$ выражение $10m^2+m$ также является целым, исходное выражение всегда делится на 5, что и требовалось доказать.