Номер 9, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 9, страница 64.

Условие.

9.Докажите тождество:

$(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2) = (2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства тождества преобразуем его правую часть (ПЧ), чтобы показать, что она равна левой части (ЛЧ).

Правая часть: ПЧ = $(2x - y)(2x + y)(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$.

Сгруппируем множители:

ПЧ = $[(2x - y)(2x + y)] \cdot [(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)]$.

Преобразуем каждую группу множителей по отдельности.

1. Первая группа $(2x - y)(2x + y)$ представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(2x - y)(2x + y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$.

2. Вторая группа $(4x^2 + y^2 - 2xy)(4x^2 + y^2 + 2xy)$ также может быть преобразована по формуле разности квадратов. Для этого представим ее в виде $[(4x^2 + y^2) - 2xy] \cdot [(4x^2 + y^2) + 2xy]$.

Здесь $a = (4x^2 + y^2)$ и $b = 2xy$. Применяя ту же формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, получаем:

$(4x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2$.

Теперь раскроем скобки в этом выражении, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4x^2 + y^2)^2 - (2xy)^2 = ((4x^2)^2 + 2 \cdot 4x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) - 4x^2y^2 = (16x^4 + 8x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2 = 16x^4 + 4x^2y^2 + y^4$.

3. Подставим результаты преобразований обратно в выражение для правой части:

ПЧ = $(4x^2 - y^2) \cdot (16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)$.

Поменяв множители местами (от перестановки множителей произведение не меняется), получаем:

ПЧ = $(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2)$.

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества:

ЛЧ = $(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4)(4x^2 - y^2)$.

Поскольку мы показали, что ПЧ = ЛЧ, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.