Номер 14, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 14, страница 66.

Условие.

14. Выясните, при каком значении $p$ трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ принимает наименьшее значение и чему равно это значение.

Ответ: наименьшее значение равно .............., трёхчлен принимает наименьшее значение при $p=$...............

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее значение трёхчлена $p^2 + 6p + 1$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Этот метод позволяет представить квадратичный многочлен в виде, из которого легко определить его минимальное или максимальное значение.

Исходное выражение: $p^2 + 6p + 1$.

Для выделения полного квадрата воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2$ соответствует $p^2$, а $2ab$ соответствует $6p$. Если $a=p$, то $2 \cdot p \cdot b = 6p$, откуда находим, что $b=3$.

Тогда полный квадрат, который нам нужен, это $(p+3)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 3 + 3^2 = p^2 + 6p + 9$.

Теперь представим исходный трёхчлен через этот полный квадрат. Для этого мы можем добавить и вычесть 9, чтобы значение выражения не изменилось:

$p^2 + 6p + 1 = (p^2 + 6p + 9) - 9 + 1$

Сгруппируем первые три члена, которые образуют полный квадрат, и упростим оставшуюся часть:

$(p+3)^2 - 8$

Теперь проанализируем полученное выражение $(p+3)^2 - 8$. Оно состоит из двух слагаемых: $(p+3)^2$ и $-8$.

Слагаемое $(p+3)^2$ является квадратом числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(p+3)^2 \ge 0$ для любого значения $p$.

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(p+3)^2$, равно 0. Это происходит тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$p+3 = 0$

$p = -3$

Когда слагаемое $(p+3)^2$ достигает своего минимума (равного 0), всё выражение $(p+3)^2 - 8$ также достигает своего наименьшего значения. Это значение равно:

Наименьшее значение = $0 - 8 = -8$.

Таким образом, трёхчлен $p^2 + 6p + 1$ принимает наименьшее значение, равное -8, при $p = -3$.

Ответ: наименьшее значение равно -8, трёхчлен принимает наименьшее значение при $p = -3$.