Номер 4, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 4, страница 68.

Условие.

4. Представьте в виде произведения:

а) $8a^3 - 0.001 = $

б) $16a^4 - 1 = $

в) $a^6 - 64 = $

г) $a^8 - 81 = $

Решение.

Решение 2.

а) Данное выражение $8a^3 - 0,001$ является разностью кубов.
Представим его в виде $x^3 - y^3$.
Первый член: $8a^3 = (2a)^3$.
Второй член: $0,001 = (0,1)^3$.
Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
В нашем случае $x = 2a$ и $y = 0,1$.
Подставляем эти значения в формулу:
$8a^3 - 0,001 = (2a - 0,1)((2a)^2 + (2a)(0,1) + (0,1)^2) = (2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$.
Ответ: $(2a - 0,1)(4a^2 + 0,2a + 0,01)$.

б) Выражение $16a^4 - 1$ является разностью квадратов.
Представим его в виде $x^2 - y^2$.
$16a^4 = (4a^2)^2$ и $1 = 1^2$.
Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$16a^4 - 1 = (4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.
Заметим, что первый множитель, $4a^2 - 1$, также является разностью квадратов: $(2a)^2 - 1^2$.
Снова применим формулу разности квадратов: $4a^2 - 1 = (2a - 1)(2a + 1)$.
Второй множитель, $4a^2 + 1$, является суммой квадратов и не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Объединяем все множители:
$(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$.
Ответ: $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$.

в) Выражение $a^6 - 64$ можно разложить несколькими способами. Рассмотрим его как разность квадратов.
Представим выражение в виде $(a^3)^2 - 8^2$.
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^3$ и $y = 8$:
$a^6 - 64 = (a^3 - 8)(a^3 + 8)$.
Теперь у нас есть два множителя: разность кубов ($a^3 - 8$) и сумма кубов ($a^3 + 8$).
Разложим первый множитель, $a^3 - 8 = a^3 - 2^3$, по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.
Разложим второй множитель, $a^3 + 8 = a^3 + 2^3$, по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:
$a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.
Собираем все множители вместе:
$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)$.
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4)$.

г) Выражение $a^8 - 81$ представляет собой разность квадратов.
Представим его в виде $(a^4)^2 - 9^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^4$ и $y = 9$:
$a^8 - 81 = (a^4 - 9)(a^4 + 9)$.
Первый множитель, $a^4 - 9$, снова является разностью квадратов: $(a^2)^2 - 3^2$.
Разложим его по той же формуле, где $x = a^2$ и $y = 3$:
$a^4 - 9 = (a^2 - 3)(a^2 + 3)$.
Множители $a^2 - 3$, $a^2 + 3$ и $a^4 + 9$ не разлагаются далее на множители с рациональными коэффициентами.
Таким образом, итоговый результат разложения:
$(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$.
Ответ: $(a^2 - 3)(a^2 + 3)(a^4 + 9)$.