Номер 11, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 11, страница 71.

Условие.

11. Разложите на множители многочлен:

a) $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3 =$

б) $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x =$

Решение.

Решение 2.

а) Для разложения многочлена $xyz - 4x^2z + 4x^2y - 16x^3$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(xyz - 4x^2z) + (4x^2y - 16x^3)$
Вынесем общие множители из каждой группы: $xz$ из первой и $4x^2$ из второй.
$xz(y - 4x) + 4x^2(y - 4x)$
Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(y - 4x)$:
$(y - 4x)(xz + 4x^2)$
Во второй скобке $(xz + 4x^2)$ есть общий множитель $x$, который также выносим:
$(y - 4x) \cdot x(z + 4x)$
Запишем множители в стандартном порядке:
$x(y - 4x)(z + 4x)$
Ответ: $x(y - 4x)(z + 4x)$

б) Для разложения многочлена $3x^2 - 12y^2 - 8y + 4x$ на множители, перегруппируем его члены. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым (после перестановки):
$(3x^2 - 12y^2) + (4x - 8y)$
Из первой группы вынесем общий множитель 3. В скобках останется разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$3(x^2 - 4y^2) = 3(x - 2y)(x + 2y)$
Из второй группы вынесем общий множитель 4:
$4(x - 2y)$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$3(x - 2y)(x + 2y) + 4(x - 2y)$
У обоих слагаемых есть общий множитель $(x - 2y)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 2y)[3(x + 2y) + 4]$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки:
$(x - 2y)(3x + 3 \cdot 2y + 4) = (x - 2y)(3x + 6y + 4)$
Ответ: $(x - 2y)(3x + 6y + 4)$