Номер 9, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 9, страница 70.

Условие.

9. Решите уравнение:

а) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0;$

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12;$

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y;$

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3.$

Решение.

Решение 2.

а) $x^3 + 7x^2 - 9x - 63 = 0$

Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + 7x^2) + (-9x - 63) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 7) - 9(x + 7) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x + 7)$:

$(x^2 - 9)(x + 7) = 0$

Множитель $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 3)(x + 3)$.

$(x - 3)(x + 3)(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

$x + 7 = 0 \Rightarrow x_3 = -7$

Ответ: $-7; -3; 3$.

б) $p^3 - 3p^2 = 4p - 12$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$p^3 - 3p^2 - 4p + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(p^3 - 3p^2) + (-4p + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$p^2(p - 3) - 4(p - 3) = 0$

Вынесем за скобку общий множитель $(p - 3)$:

$(p^2 - 4)(p - 3) = 0$

Разложим множитель $(p^2 - 4)$ как разность квадратов: $(p - 2)(p + 2)$.

$(p - 2)(p + 2)(p - 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$p - 2 = 0 \Rightarrow p_1 = 2$

$p + 2 = 0 \Rightarrow p_2 = -2$

$p - 3 = 0 \Rightarrow p_3 = 3$

Ответ: $-2; 2; 3$.

в) $y^3 - 24y^2 = 216 - 9y$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$y^3 - 24y^2 + 9y - 216 = 0$

Сгруппируем слагаемые. Удобнее сгруппировать первое с четвертым и второе с третьим:

$(y^3 - 216) + (-24y^2 + 9y) = 0$

Заметим, что $216 = 6^3$. Разложим $(y^3 - 6^3)$ по формуле разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$(y - 6)(y^2 + 6y + 36) - 3y(8y-3) = 0$. Такая группировка не приводит к результату. Попробуем по-другому.

Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(y^3 - 24y^2) + (9y - 216) = 0$

Вынесем общие множители:

$y^2(y - 24) + 9(y - 24) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 24)$:

$(y^2 + 9)(y - 24) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $y - 24 = 0 \Rightarrow y_1 = 24$

2) $y^2 + 9 = 0 \Rightarrow y^2 = -9$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Ответ: $24$.

г) $16x^3 + 12x^2 = 4x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$16x^3 + 12x^2 - 4x - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(16x^3 + 12x^2) + (-4x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$4x^2(4x + 3) - 1(4x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(4x + 3)$:

$(4x^2 - 1)(4x + 3) = 0$

Разложим множитель $(4x^2 - 1)$ как разность квадратов: $(2x - 1)(2x + 1)$.

$(2x - 1)(2x + 1)(4x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}$

$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{1}{2}$

$4x + 3 = 0 \Rightarrow 4x = -3 \Rightarrow x_3 = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.