Номер 8, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 8, страница 69.

Условие.

8. Разложите многочлен на множители:

a) $4a^2 - 4b^2 - a - b = $

б) $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y = $

в) $16p^2 - y^2 + 8y - 16 = $

г) $0,25a^2 - a - b^2 + 1 = $

Решение.

Решение 2.

а) В выражении $4a^2 - 4b^2 - a - b$ сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых: $(4a^2 - 4b^2) - (a + b)$. В первой группе вынесем за скобку общий множитель 4 и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $4(a^2 - b^2) = 4(a - b)(a + b)$. После этого выражение примет вид: $4(a - b)(a + b) - (a + b)$. Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(a + b)$: $(a + b)(4(a - b) - 1)$. Раскроем скобки во втором множителе: $(a + b)(4a - 4b - 1)$.
Ответ: $(a + b)(4a - 4b - 1)$

б) В выражении $9x^2 - 9y^2 - 3x + 3y$ сгруппируем слагаемые: $(9x^2 - 9y^2) + (-3x + 3y)$. В каждой группе вынесем общий множитель за скобки: $9(x^2 - y^2) - 3(x - y)$. Применим формулу разности квадратов к выражению в первой скобке: $9(x - y)(x + y) - 3(x - y)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $3(x - y)$: $3(x - y)[3(x + y) - 1]$. Раскроем внутренние скобки и получим окончательный результат: $3(x - y)(3x + 3y - 1)$.
Ответ: $3(x - y)(3x + 3y - 1)$

в) В многочлене $16p^2 - y^2 + 8y - 16$ сгруппируем три последних слагаемых, вынеся за скобки -1: $16p^2 - (y^2 - 8y + 16)$. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=y$ и $b=4$: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = (y - 4)^2$. Таким образом, исходное выражение преобразуется в разность квадратов: $16p^2 - (y - 4)^2 = (4p)^2 - (y - 4)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$: $(4p - (y - 4))(4p + (y - 4))$. Раскроем внутренние скобки: $(4p - y + 4)(4p + y - 4)$.
Ответ: $(4p - y + 4)(4p + y - 4)$

г) В многочлене $0,25a^2 - a - b^2 + 1$ перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $(0,25a^2 - a + 1) - b^2$. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(0,5a)^2 - 2 \cdot 0,5a \cdot 1 + 1^2 = (0,5a - 1)^2$. Исходное выражение принимает вид разности квадратов: $(0,5a - 1)^2 - b^2$. Применяем формулу разности квадратов: $((0,5a - 1) - b)((0,5a - 1) + b)$. Раскрыв внутренние скобки, получаем: $(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$.
Ответ: $(0,5a - b - 1)(0,5a + b - 1)$