Номер 1, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 1, страница 67.

Условие.

1. Выполните разложение многочлена на множители:

a) $a^4 + ab^3 - 5a - 5b = (a^4 + ab^3) - (5a + 5b) = a(a^3 + b^3) - 5(a + b) =$

$= a(a + b)(a^2 - ab + b^2) - 5(a + b) =$

б) $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b = (3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b) =$

в) $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a = (6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a) =$

г) $x^4 + x^3y - 3x - 3y = (x^4 + x^3y) - (3x + 3y) =$

Решение.

Решение 2.

а)

Исходный многочлен: $a^4 + ab^3 - 5a - 5b$.
Сгруппируем слагаемые, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель:
$(a^4 + ab^3) - (5a + 5b)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $a$, из второй — $5$:
$a(a^3 + b^3) - 5(a + b)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ к первому слагаемому:
$a(a + b)(a^2 - ab + b^2) - 5(a + b)$.
Теперь мы видим общий множитель $(a + b)$, который можно вынести за скобки:
$(a + b)(a(a^2 - ab + b^2) - 5)$.
Раскроем скобки внутри второго множителя для получения окончательного вида:
$(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - 5)$.
Ответ: $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - 5)$.

б)

Исходный многочлен: $3a^2 + 5a - 3b^2 - 5b$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые коэффициенты:
$(3a^2 - 3b^2) + (5a - 5b)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $3$, из второй — $5$:
$3(a^2 - b^2) + 5(a - b)$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к первому слагаемому:
$3(a - b)(a + b) + 5(a - b)$.
Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:
$(a - b)(3(a + b) + 5)$.
Раскроем скобки внутри второго множителя:
$(a - b)(3a + 3b + 5)$.
Ответ: $(a - b)(3a + 3b + 5)$.

в)

Исходный многочлен: $6b^2 - 6a^2 - 7b + 7a$.
Сгруппируем слагаемые. Важно правильно поставить знаки при вынесении минуса за скобку:
$(6b^2 - 6a^2) - (7b - 7a)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $6$, из второй — $7$:
$6(b^2 - a^2) - 7(b - a)$.
Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ к первому слагаемому:
$6(b - a)(b + a) - 7(b - a)$.
Вынесем общий множитель $(b - a)$ за скобки:
$(b - a)(6(b + a) - 7)$.
Раскроем скобки внутри второго множителя:
$(b - a)(6b + 6a - 7)$.
Ответ: $(b - a)(6b + 6a - 7)$.

г)

Исходный многочлен: $x^4 + x^3y - 3x - 3y$.
Сгруппируем слагаемые попарно:
$(x^4 + x^3y) - (3x + 3y)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $x^3$, из второй — $3$:
$x^3(x + y) - 3(x + y)$.
Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:
$(x + y)(x^3 - 3)$.
Ответ: $(x + y)(x^3 - 3)$.