Номер 11, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 11, страница 65.

Условие.

11. Решите уравнение:

а) $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p + 8)(p - 8) = 3(p + 5)^2 + 22;$

б) $3(m + 1)(m - 1) - 4(2 + 1.5m)(1.5m - 2) + 6m(m - 1) = 31$

Решение.

Решение 2.

а) $7(p^2 + 10p + 23) - 4(p + 8)(p - 8) = 3(p + 5)^2 + 22$

Для решения данного уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим формулу разности квадратов к выражению $(p + 8)(p - 8)$:

$(p + 8)(p - 8) = p^2 - 8^2 = p^2 - 64$

Применим формулу квадрата суммы к выражению $(p + 5)^2$:

$(p + 5)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 5 + 5^2 = p^2 + 10p + 25$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$7(p^2 + 10p + 23) - 4(p^2 - 64) = 3(p^2 + 10p + 25) + 22$

Теперь раскроем оставшиеся скобки, умножая коэффициенты на каждый член в скобках:

$7p^2 + 70p + 161 - 4p^2 + 256 = 3p^2 + 30p + 75 + 22$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$(7p^2 - 4p^2) + 70p + (161 + 256) = 3p^2 + 30p + (75 + 22)$

$3p^2 + 70p + 417 = 3p^2 + 30p + 97$

Перенесем слагаемые с переменной $p$ в левую часть, а свободные члены - в правую, меняя их знак при переносе:

$3p^2 - 3p^2 + 70p - 30p = 97 - 417$

Упростим полученное выражение. Члены с $p^2$ взаимно уничтожаются:

$40p = -320$

Найдем $p$, разделив обе части уравнения на 40:

$p = \frac{-320}{40}$

$p = -8$

Ответ: -8

б) $3(m + 1)(m - 1) - 4(2 + 1,5m)(1,5m - 2) + 6m(m - 1) = 31$

Упростим выражения в скобках. Для первого и второго слагаемых применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Для первого слагаемого: $(m + 1)(m - 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$.

Для второго слагаемого заметим, что $(2 + 1,5m)(1,5m - 2)$ можно переписать как $(1,5m + 2)(1,5m - 2)$, что также является разностью квадратов:

$(1,5m + 2)(1,5m - 2) = (1,5m)^2 - 2^2 = 2,25m^2 - 4$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение и раскроем оставшиеся скобки:

$3(m^2 - 1) - 4(2,25m^2 - 4) + 6m^2 - 6m = 31$

$3m^2 - 3 - 9m^2 + 16 + 6m^2 - 6m = 31$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(3m^2 - 9m^2 + 6m^2) - 6m + (-3 + 16) = 31$

$0 \cdot m^2 - 6m + 13 = 31$

Уравнение упрощается до линейного, так как члены с $m^2$ взаимно уничтожились:

$-6m + 13 = 31$

Перенесем свободный член 13 в правую часть с противоположным знаком:

$-6m = 31 - 13$

$-6m = 18$

Найдем $m$, разделив обе части уравнения на -6:

$m = \frac{18}{-6}$

$m = -3$

Ответ: -3