Номер 15, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 15, страница 66.

Условие.

15. Прямоугольную площадку, примыкающую к зданию, требуется оградить забором длиной 80 м. Какими должны быть размеры площадки, чтобы её площадь была наибольшей?

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ — длина сторон прямоугольной площадки, перпендикулярных зданию, а $y$ — длина стороны, параллельной зданию. Поскольку площадка примыкает к зданию, забор требуется установить только с трех сторон: двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$.

Общая длина забора составляет 80 м. Это можно выразить уравнением:

$2x + y = 80$

Площадь $S$ прямоугольной площадки вычисляется как произведение ее сторон:

$S = x \cdot y$

Чтобы найти максимальную площадь, выразим одну переменную через другую и подставим в формулу площади. Из уравнения для длины забора выразим $y$:

$y = 80 - 2x$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $x$:

$S(x) = x \cdot (80 - 2x) = 80x - 2x^2$

Функция $S(x) = -2x^2 + 80x$ является квадратичной. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -2$ и $b = 80$.

$x_0 = - \frac{80}{2 \cdot (-2)} = - \frac{80}{-4} = 20$

Таким образом, при $x = 20$ м площадь будет наибольшей. Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 80 - 2x = 80 - 2 \cdot 20 = 80 - 40 = 40$

Следовательно, размеры площадки, при которых ее площадь будет наибольшей, составляют 20 м и 40 м.

Ответ: размеры площадки должны быть 20 м и 40 м.