Номер 13, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 13, страница 66.

Условие.

13. Докажите, что если к произведению четырёх последовательных натуральных чисел прибавить 1, то получится квадрат натурального числа.

Указание. В произведении четырёх последовательных натуральных чисел перемножьте попарно два крайних множителя и два средних.

Решение.

Решение 2.

Обозначим четыре последовательных натуральных числа как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, где $n$ — натуральное число.

Нам нужно доказать, что выражение $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ является квадратом натурального числа.

Следуя указанию, перегруппируем множители, перемножив попарно два крайних и два средних:

$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1$

Теперь раскроем скобки в каждой паре:

$n(n+3) = n^2 + 3n$

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$

Чтобы упростить это выражение, введем замену. Пусть $x = n^2 + 3n$. Тогда выражение примет вид:

$x(x+2) + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x + 1$

Это выражение является полным квадратом суммы, согласно формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае это $(x+1)^2$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $n^2 + 3n$ вместо $x$:

$(n^2 + 3n + 1)^2$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $n^2$ и $3n$ также являются натуральными числами. Сумма натуральных чисел $n^2 + 3n + 1$ также является натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, всегда равно квадрату натурального числа $(n^2 + 3n + 1)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение четырёх последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, равно $(n^2 + 3n + 1)^2$, что является квадратом натурального числа.