Номер 8, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 8, страница 64.

Условие.

8.Докажите, что при любом целом m значение выражения

$ (m^2+1)(m-1)-(m-1)^3 $

является чётным числом.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения $(m^2+1)(m-1)-(m-1)^3$ является чётным при любом целом $m$, упростим это выражение.

Заметим, что оба слагаемых, $(m^2+1)(m-1)$ и $(m-1)^3$, содержат общий множитель $(m-1)$. Вынесем его за скобки:

$(m^2+1)(m-1)-(m-1)^3 = (m-1) \cdot [ (m^2+1) - (m-1)^2 ]$

Теперь упростим выражение в квадратных скобках. Для этого раскроем $(m-1)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(m-1)^2 = m^2 - 2m + 1$

Подставим результат в выражение в квадратных скобках:

$(m^2+1) - (m^2 - 2m + 1) = m^2 + 1 - m^2 + 2m - 1$

Приведём подобные слагаемые в этом выражении:

$(m^2 - m^2) + 2m + (1 - 1) = 2m$

Теперь подставим полученный результат $2m$ обратно в наше основное преобразование:

$(m-1) \cdot (2m) = 2m(m-1)$

В результате упрощения мы получили выражение $2m(m-1)$. Это выражение содержит множитель 2. Поскольку по условию $m$ — целое число, то $m-1$ также является целым числом, и их произведение $m(m-1)$ — это целое число. Любое число, которое можно представить в виде произведения 2 на целое число, по определению является чётным.

Следовательно, значение выражения $(m^2+1)(m-1)-(m-1)^3$ всегда является чётным числом при любом целом $m$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что выражение является чётным, так как оно тождественно равно $2m(m-1)$, которое очевидно делится на 2 без остатка для любого целого $m$.