Номер 10, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 33. Преобразование целого выражения в многочлен - номер 10, страница 65.

Условие.

10.Докажите, что значение выражения

$ (8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2 $

не зависит от $b$.

Решение.

Решение 2.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $b$, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения все слагаемые, содержащие переменную $b$, сократятся, и останется только константа (число), то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$(8b + 13)(4b^2 + 1) - (8b - 3)(2b + 2)^2$

Упростим выражение по частям.

1. Упростим первое слагаемое $(8b + 13)(4b^2 + 1)$.

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(8b + 13)(4b^2 + 1) = 8b \cdot 4b^2 + 8b \cdot 1 + 13 \cdot 4b^2 + 13 \cdot 1 = 32b^3 + 8b + 52b^2 + 13$.

Расположим члены в порядке убывания степеней $b$:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13$.

2. Упростим второе слагаемое $(8b - 3)(2b + 2)^2$.

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы $(a + c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$:

$(2b + 2)^2 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 2 + 2^2 = 4b^2 + 8b + 4$.

Теперь умножим полученный многочлен на $(8b - 3)$:

$(8b - 3)(4b^2 + 8b + 4) = 8b(4b^2 + 8b + 4) - 3(4b^2 + 8b + 4)$

$= (32b^3 + 64b^2 + 32b) - (12b^2 + 24b + 12)$

$= 32b^3 + 64b^2 + 32b - 12b^2 - 24b - 12$.

Приведем подобные слагаемые:

$32b^3 + (64b^2 - 12b^2) + (32b - 24b) - 12 = 32b^3 + 52b^2 + 8b - 12$.

3. Выполним вычитание.

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(32b^3 + 52b^2 + 8b + 13) - (32b^3 + 52b^2 + 8b - 12)$.

Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:

$32b^3 + 52b^2 + 8b + 13 - 32b^3 - 52b^2 - 8b + 12$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(32b^3 - 32b^3) + (52b^2 - 52b^2) + (8b - 8b) + (13 + 12)$.

$0 + 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате преобразований мы получили число 25. Так как итоговый результат не содержит переменную $b$, значение выражения не зависит от $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: 25.