Номер 14, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 14, страница 72.

Условие.

14. Существуют ли такие значения переменной, при которых многочлен:

а) $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$;

б) $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$

принимает отрицательные значения? Ответ поясните.

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы выяснить, может ли многочлен $4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1$ принимать отрицательные значения, преобразуем его, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые:

$4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1 = (4x^2 - 4xy + y^2) + (y^2 - 2y + 1)$

Заметим, что выражения в скобках представляют собой формулы квадрата разности:

$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = (2x - y)^2$

$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов:

$4x^2 - 4xy + 2y^2 - 2y + 1 = (2x - y)^2 + (y - 1)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - y)^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$ при любых значениях переменных $x$ и $y$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Следовательно, выражение $(2x - y)^2 + (y - 1)^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$. Это означает, что многочлен не может принимать отрицательные значения.

Ответ: не существуют.

б) Рассмотрим многочлен $1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2$. Чтобы определить, может ли он принимать отрицательные значения, преобразуем его. Переставим слагаемые для удобства и представим $-8ab$ как $-4ab - 4ab$:

$4a^2b^2 + 4a^2 - 8ab + b^2 + 1 = (4a^2b^2 - 4ab + 1) + (4a^2 - 4ab + b^2)$

Каждое из выражений в скобках является полным квадратом:

$4a^2b^2 - 4ab + 1 = (2ab)^2 - 2 \cdot (2ab) \cdot 1 + 1^2 = (2ab - 1)^2$

$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно представить в виде суммы двух квадратов:

$1 - 8ab + 4a^2b^2 + 4a^2 + b^2 = (2ab - 1)^2 + (2a - b)^2$

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $(2ab - 1)^2 \ge 0$ и $(2a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также всегда неотрицательна.

Следовательно, выражение $(2ab - 1)^2 + (2a - b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$. Это означает, что многочлен не может принимать отрицательные значения.

Ответ: не существуют.