Номер 10, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 10, страница 71.

Условие.

10. Преобразуйте многочлен в произведение:

a) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2 = $

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2 = $

Решение.

Решение 2.

а) $4x^3 - y^3 + 4x^2y - xy^2$

Для преобразования многочлена в произведение воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые, чтобы можно было вынести общий множитель:

$4x^3 + 4x^2y - y^3 - xy^2 = (4x^3 + 4x^2y) - (y^3 + xy^2)$

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $4x^2$, из второй — $y^2$:

$4x^2(x + y) - y^2(y + x)$

Мы видим, что в обеих частях выражения есть общий множитель $(x+y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(4x^2 - y^2)$

Выражение во второй скобке, $4x^2 - y^2$, является разностью квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x + y)((2x)^2 - y^2) = (x + y)(2x - y)(2x + y)$

Ответ: $(x + y)(2x - y)(2x + y)$

б) $x^3 + 9xy - 9y^2 + y^3 - 9x^2$

Для разложения этого многочлена на множители также применим метод группировки. Переставим члены многочлена, сгруппировав кубы и оставшиеся члены:

$(x^3 + y^3) - (9x^2 - 9xy + 9y^2)$

Первая скобка представляет собой сумму кубов. Разложим ее по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

Во второй скобке вынесем общий множитель $-9$:

$-9x^2 + 9xy - 9y^2 = -9(x^2 - xy + y^2)$

Теперь подставим разложенные части обратно в выражение:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) - 9(x^2 - xy + y^2)$

Мы видим, что у нас появился общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 - xy + y^2)( (x+y) - 9 ) = (x^2 - xy + y^2)(x + y - 9)$

Ответ: $(x + y - 9)(x^2 - xy + y^2)$