Номер 13, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 34. Применение различных способов для разложения на множители - номер 13, страница 72.

Условие.

13. Разложите на множители многочлен:

a) $64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2 = $

б) $4x^4 + 1 = $

Решение.

Решение 2.

а) $64x^4 + 1 = 64x^4 + 1 + 16x^2 - 16x^2 =$

Продолжим разложение, используя метод выделения полного квадрата. Для этого перегруппируем слагаемые. Мы видим, что $64x^4 = (8x^2)^2$ и $1 = 1^2$. Чтобы получить формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, нам нужен член $2ab = 2 \cdot 8x^2 \cdot 1 = 16x^2$. Именно этот член был добавлен и вычтен в условии.

$(64x^4 + 16x^2 + 1) - 16x^2$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(8x^2 + 1)^2 - 16x^2$

Мы получили выражение, которое является разностью квадратов $A^2 - B^2$, где $A = 8x^2 + 1$ и $B = \sqrt{16x^2} = 4x$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(8x^2 + 1)^2 - (4x)^2 = ((8x^2 + 1) - 4x)((8x^2 + 1) + 4x)$

Запишем получившиеся многочлены в стандартном виде:

$(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$

Ответ: $(8x^2 - 4x + 1)(8x^2 + 4x + 1)$.

б) $4x^4 + 1 =$

Для разложения этого многочлена на множители используем тот же метод выделения полного квадрата. Представим слагаемые в виде квадратов: $4x^4 = (2x^2)^2$ и $1 = 1^2$.

Чтобы получить полный квадрат суммы, нам не хватает удвоенного произведения $2 \cdot 2x^2 \cdot 1 = 4x^2$. Добавим и одновременно вычтем этот член, чтобы не изменить значение выражения:

$4x^4 + 1 = 4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2 = (2x^2 + 1)^2 - 4x^2$

Полученное выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2$, где $A = 2x^2 + 1$ и $B = \sqrt{4x^2} = 2x$. Применим формулу разности квадратов:

$(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2 = ((2x^2 + 1) - 2x)((2x^2 + 1) + 2x)$

Запишем многочлены в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней $x$:

$(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$

Ответ: $(2x^2 - 2x + 1)(2x^2 + 2x + 1)$.