Номер 14, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 14, страница 52.

Условие.

14. Преобразуйте выражения в многочлен:

a) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

$=(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8) =$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1) - x^{32} =$

Решение.

Решение 2.

а) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8) =$

Для преобразования данного выражения в многочлен мы будем последовательно применять формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

1. Применим формулу к первым двум множителям: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

2. Подставим результат обратно в выражение. Оно примет вид:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$

3. Снова применим формулу разности квадратов, теперь для $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$. Здесь $x=a^2$ и $y=b^2$:

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.

4. Выражение упрощается до:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$

5. Продолжаем аналогично. Применяем формулу к $(a^4-b^4)(a^4+b^4)$:

$(a^4-b^4)(a^4+b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$.

6. Выражение становится еще проще:

$(a^8-b^8)(a^8+b^8)$

7. На последнем шаге применяем ту же формулу:

$(a^8-b^8)(a^8+b^8) = (a^8)^2 - (b^8)^2 = a^{16} - b^{16}$.

Ответ: $a^{16} - b^{16}$

б) $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1) - x^{32} =$

Это задание решается по тому же принципу, что и предыдущее. Сначала упростим произведение скобок, последовательно применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.

2. Получаем: $(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1) - x^{32}$.

3. Далее: $(x^2-1)(x^2+1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

4. Получаем: $(x^4-1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1) - x^{32}$.

5. Далее: $(x^4-1)(x^4+1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.

6. Получаем: $(x^8-1)(x^8+1)(x^{16}+1) - x^{32}$.

7. Далее: $(x^8-1)(x^8+1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$.

8. Получаем: $(x^{16}-1)(x^{16}+1) - x^{32}$.

9. И наконец: $(x^{16}-1)(x^{16}+1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$.

10. Теперь, когда мы упростили все произведение, подставим результат в исходное выражение:

$(x^{32} - 1) - x^{32}$

11. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^{32} - 1 - x^{32} = -1$.

Ответ: $-1$