Номер 8, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 8, страница 50.

Условие.

8. Преобразуйте в многочлен выражение:

а) $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2) =$

б) $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b) =$

в) $(c - 1)^2(c + 1)^2 =$

г) $(3 - a)^2(3 + a)^2 =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы преобразовать выражение $(a - 3)(a + 3)(9 + a^2)$, воспользуемся формулами сокращенного умножения.
Сначала применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:
$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Теперь наше выражение принимает вид:
$(a^2 - 9)(9 + a^2)$.
Переставим слагаемые во второй скобке для удобства: $(a^2 - 9)(a^2 + 9)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.
Ответ: $a^4 - 81$.

б) Преобразуем выражение $(b^2 + 4)(b - 2)(2 + b)$.
Перегруппируем множители для удобства: $(b^2 + 4)(b - 2)(b + 2)$.
Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к последним двум множителям:
$(b - 2)(b + 2) = b^2 - 2^2 = b^2 - 4$.
Теперь выражение выглядит так:
$(b^2 + 4)(b^2 - 4)$.
Еще раз воспользуемся формулой разности квадратов:
$(b^2 + 4)(b^2 - 4) = (b^2)^2 - 4^2 = b^4 - 16$.
Ответ: $b^4 - 16$.

в) Преобразуем выражение $(c - 1)^2(c + 1)^2$.
Воспользуемся свойством степеней $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ в обратном порядке:
$(c - 1)^2(c + 1)^2 = ((c - 1)(c + 1))^2$.
Выражение в скобках является разностью квадратов:
$(c - 1)(c + 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
Теперь исходное выражение равно:
$(c^2 - 1)^2$.
Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(c^2 - 1)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 1 + 1^2 = c^4 - 2c^2 + 1$.
Ответ: $c^4 - 2c^2 + 1$.

г) Преобразуем выражение $(3 - a)^2(3 + a)^2$.
Как и в предыдущем пункте, используем свойство степеней:
$(3 - a)^2(3 + a)^2 = ((3 - a)(3 + a))^2$.
В скобках находится формула разности квадратов:
$(3 - a)(3 + a) = 3^2 - a^2 = 9 - a^2$.
Теперь выражение принимает вид:
$(9 - a^2)^2$.
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(9 - a^2)^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot a^2 + (a^2)^2 = 81 - 18a^2 + a^4$.
Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $a^4 - 18a^2 + 81$.
Ответ: $a^4 - 18a^2 + 81$.