Номер 6, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 6, страница 49.

Условие.

6. Упростите выражение:

а) $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8) =$

б) $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b) =$

в) $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n) =$

г) $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p) =$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы упростить выражение $(a + 4)(4 - a) + a(a - 8)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Первое произведение, $(a + 4)(4 - a)$, можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. Для этого запишем его как $(4 + a)(4 - a) = 4^2 - a^2 = 16 - a^2$.
Второе произведение, $a(a - 8)$, раскроем, умножив $a$ на каждый член в скобке: $a \cdot a - a \cdot 8 = a^2 - 8a$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное: $(16 - a^2) + (a^2 - 8a)$.
Приведем подобные слагаемые: $16 - a^2 + a^2 - 8a = 16 - 8a$.
Ответ: $16 - 8a$

б) Упростим выражение $b(b + 8) - (b - 3)(3 + b)$.
Раскроем первую скобку: $b(b + 8) = b^2 + 8b$.
Второе произведение, $(b - 3)(3 + b)$, также является разностью квадратов. Запишем его в виде $(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$.
Подставим полученные выражения в исходное, учитывая знак минус перед второй скобкой: $(b^2 + 8b) - (b^2 - 9) = b^2 + 8b - b^2 + 9$.
Приведем подобные слагаемые: $(b^2 - b^2) + 8b + 9 = 8b + 9$.
Ответ: $8b + 9$

в) Упростим выражение $(6m + n)(n - 6m) + 3m(m - n)$.
Первое произведение, $(6m + n)(n - 6m)$, является разностью квадратов. Перегруппируем слагаемые для наглядности: $(n + 6m)(n - 6m) = n^2 - (6m)^2 = n^2 - 36m^2$.
Раскроем вторую скобку: $3m(m - n) = 3m^2 - 3mn$.
Теперь сложим результаты: $(n^2 - 36m^2) + (3m^2 - 3mn) = n^2 - 36m^2 + 3m^2 - 3mn$.
Приведем подобные слагаемые: $n^2 - (36m^2 - 3m^2) - 3mn = n^2 - 33m^2 - 3mn$.
Ответ: $n^2 - 33m^2 - 3mn$

г) Упростим выражение $-5p(5p - n) + (5p - n)(n + 5p)$.
Можно вынести общий множитель $(5p - n)$ за скобки:
$(5p - n) \cdot (-5p + (n + 5p))$.
Упростим выражение во второй скобке: $-5p + n + 5p = n$.
Таким образом, исходное выражение равно $(5p - n) \cdot n = 5pn - n^2$.
Второй способ - раскрыть все скобки поочередно:
$-5p(5p - n) = -25p^2 + 5pn$.
Произведение $(5p - n)(n + 5p)$ является разностью квадратов: $(5p - n)(5p + n) = (5p)^2 - n^2 = 25p^2 - n^2$.
Сложим полученные выражения: $(-25p^2 + 5pn) + (25p^2 - n^2) = -25p^2 + 5pn + 25p^2 - n^2 = 5pn - n^2$.
Ответ: $5pn - n^2$