Номер 12, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 29. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 12, страница 47.

Условие.

12. Верно ли, что при любом значении переменной:

а) трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает отрицательное значение;

б) трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ принимает положительное значение?

Решение.

Решение 2.

а)

Рассмотрим трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$. Чтобы определить, всегда ли он принимает отрицательное значение, преобразуем его, выделив полный квадрат.

Сначала перепишем трёхчлен в стандартном виде, расположив члены по убыванию степеней переменной $p$:
$-4p^2 + 4p - 8$

Вынесем за скобки общий множитель $-4$:
$-4(p^2 - p + 2)$

Теперь выделим полный квадрат в выражении $p^2 - p + 2$. Для этого представим член $-p$ как $-2 \cdot p \cdot \frac{1}{2}$. Чтобы получить формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, нам нужно добавить и вычесть $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$p^2 - p + 2 = (p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 2 = (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

Подставим это преобразованное выражение обратно:
$-4 \left( (p - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} \right) = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{7}{4} = -4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$

Проанализируем полученное выражение. Выражение $(p - \frac{1}{2})^2$ является квадратом, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(p - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
При умножении на $-4$, знак неравенства меняется: $-4(p - \frac{1}{2})^2 \le 0$.
Тогда значение всего выражения $-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7$ будет всегда меньше или равно $-7$:
$-4(p - \frac{1}{2})^2 - 7 \le -7$

Поскольку $-7$ является отрицательным числом, то и весь трёхчлен $4p - 4p^2 - 8$ принимает только отрицательные значения при любом значении переменной $p$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: Да, верно.

б)

Рассмотрим трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$. Чтобы определить, всегда ли он принимает положительное значение, перепишем его в стандартном виде и попробуем свернуть в полный квадрат.

Стандартный вид трёхчлена: $9m^2 - 60m + 100$.

Заметим, что это выражение соответствует формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a^2 = 9m^2 = (3m)^2$, а $b^2 = 100 = 10^2$.
Проверим, соответствует ли этому средний член: $-2ab = -2 \cdot (3m) \cdot 10 = -60m$.
Это совпадает со средним членом нашего трёхчлена. Таким образом, его можно свернуть в полный квадрат:
$9m^2 - 60m + 100 = (3m - 10)^2$

Выражение $(3m - 10)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(3m - 10)^2 \ge 0$.

Вопрос состоит в том, всегда ли это значение положительно, то есть строго больше нуля ($>0$).
Выражение равно нулю, если основание степени равно нулю: $3m - 10 = 0$. Это происходит при $3m = 10$, то есть при $m = \frac{10}{3}$.
При $m = \frac{10}{3}$ значение трёхчлена равно $0$, а число $0$ не является положительным.

Следовательно, утверждение, что трёхчлен $9m^2 + 100 - 60m$ при любом значении переменной принимает положительное значение, неверно, так как существует значение переменной, при котором он равен нулю.
Ответ: Нет, неверно.