Номер 13, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 30. Умножение разности двух выражений на их сумму - номер 13, страница 52.

Условие.

13. Упростите выражение:

а) $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n) = $

б) $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1}) = $

Решение.

Решение 2.

а) $(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n})(x^n - y^n)$

Сначала перегруппируем множители для удобства, чтобы применить формулу разности квадратов:

$(x^n + y^n)(x^n - y^n)(x^{2n} + y^{2n})$

Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям, где $a = x^n$ и $b = y^n$:

$((x^n)^2 - (y^n)^2)(x^{2n} + y^{2n}) = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})$

Теперь мы снова видим формулу разности квадратов, где $a = x^{2n}$ и $b = y^{2n}$:

$(x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = x^{2n \cdot 2} - y^{2n \cdot 2} = x^{4n} - y^{4n}$

Ответ: $x^{4n} - y^{4n}$

б) $(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})(a^{n+1} + b^{n+1})$

Как и в предыдущем примере, сгруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов:

$(a^{n+1} - b^{n+1})(a^{n+1} + b^{n+1})(a^{2n+2} + b^{2n+2})$

Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям, где $a = a^{n+1}$ и $b = b^{n+1}$:

$((a^{n+1})^2 - (b^{n+1})^2)(a^{2n+2} + b^{2n+2}) = (a^{2(n+1)} - b^{2(n+1)})(a^{2n+2} + b^{2n+2})$

Упростим показатели степени:

$(a^{2n+2} - b^{2n+2})(a^{2n+2} + b^{2n+2})$

И снова применим формулу разности квадратов, где $a = a^{2n+2}$ и $b = b^{2n+2}$:

$(a^{2n+2})^2 - (b^{2n+2})^2 = a^{2(2n+2)} - b^{2(2n+2)} = a^{4n+4} - b^{4n+4}$

Ответ: $a^{4n+4} - b^{4n+4}$