Номер 15, страница 43, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 5. Формулы сокращённого умножения. 28. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 15, страница 43.

Условие.

15. Решите уравнение:

а) $$(3x+1)^3 = 27x^2(x+1);$$

б) $$(5x-1)^3 = 25x^2(5x-3).$$

Решение.

Решение 2.

a) $(3x + 1)^3 = 27x^2(x + 1)$

Для решения данного уравнения раскроем скобки в обеих частях. В левой части воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$

В правой части раскроем скобки, умножив $27x^2$ на каждый член в скобках:

$27x^2(x + 1) = 27x^2 \cdot x + 27x^2 \cdot 1 = 27x^3 + 27x^2$

Приравняем полученные выражения:

$27x^3 + 27x^2 + 9x + 1 = 27x^3 + 27x^2$

Перенесем все члены с переменной в одну сторону, а числа в другую. Можно заметить, что члены $27x^3$ и $27x^2$ взаимно уничтожаются, если их перенести в одну часть уравнения.

$(27x^3 - 27x^3) + (27x^2 - 27x^2) + 9x + 1 = 0$

$9x + 1 = 0$

Решим простое линейное уравнение:

$9x = -1$

$x = -\frac{1}{9}$

Ответ: $x = -\frac{1}{9}$.

б) $(5x - 1)^3 = 25x^2(5x - 3)$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки. В левой части используем формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(5x - 1)^3 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5x \cdot 1^2 - 1^3 = 125x^3 - 75x^2 + 15x - 1$

В правой части раскроем скобки:

$25x^2(5x - 3) = 25x^2 \cdot 5x - 25x^2 \cdot 3 = 125x^3 - 75x^2$

Приравняем полученные выражения:

$125x^3 - 75x^2 + 15x - 1 = 125x^3 - 75x^2$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону. Члены $125x^3$ и $-75x^2$ взаимно уничтожаются.

$(125x^3 - 125x^3) + (-75x^2 + 75x^2) + 15x - 1 = 0$

$15x - 1 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$15x = 1$

$x = \frac{1}{15}$

Ответ: $x = \frac{1}{15}$.