Страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

842. Завершите разложение на множители:

1) $7a^2 - 7b^2 = 7(a^2 - b^2) = ...;$

2) $3y^3 - 27y = 3y(y^2 - 9) = ...;$

3) $m^5 - m^3 = m^3(m^2 - 1) = ...;$

4) $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0,04yz^8 = yz^6\left(\frac{49}{64}x^2y^2 - 0,04z^2\right) = ...$

1) Исходное выражение: $7a^2 - 7b^2 = 7(a^2 - b^2)$.
Для завершения разложения на множители необходимо разложить выражение в скобках $a^2 - b^2$. Это формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Применив эту формулу, где $x=a$ и $y=b$, получаем:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Следовательно, полное разложение исходного выражения выглядит так:
$7(a - b)(a + b)$.
Ответ: $7(a - b)(a + b)$.

2) Исходное выражение: $3y^3 - 27y = 3y(y^2 - 9)$.
Выражение в скобках $y^2 - 9$ также является разностью квадратов, поскольку $y^2$ это квадрат $y$, а $9$ это квадрат $3$ ($9=3^2$).
Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=y$ и $y=3$:
$y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$3y(y - 3)(y + 3)$.
Ответ: $3y(y - 3)(y + 3)$.

3) Исходное выражение: $m^5 - m^3 = m^3(m^2 - 1)$.
Выражение в скобках $m^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$.
$m^2 - 1 = m^2 - 1^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=m$ и $y=1$:
$m^2 - 1^2 = (m - 1)(m + 1)$.
Полное разложение выражения:
$m^3(m - 1)(m + 1)$.
Ответ: $m^3(m - 1)(m + 1)$.

4) Исходное выражение: $\frac{49}{64}x^2y^3z^6 - 0,04yz^8 = yz^6(\frac{49}{64}x^2y^2 - 0,04z^2)$.
Выражение в скобках $\frac{49}{64}x^2y^2 - 0,04z^2$ представляет собой разность квадратов. Представим каждый член этого выражения в виде квадрата.
Первый член: $\frac{49}{64}x^2y^2 = (\frac{7}{8})^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = (\frac{7}{8}xy)^2$.
Второй член: $0,04z^2 = (0,2)^2 \cdot z^2 = (0,2z)^2$.
Теперь выражение в скобках можно записать как $(\frac{7}{8}xy)^2 - (0,2z)^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = \frac{7}{8}xy$ и $B = 0,2z$:
$(\frac{7}{8}xy - 0,2z)(\frac{7}{8}xy + 0,2z)$.
Окончательное разложение на множители:
$yz^6(\frac{7}{8}xy - 0,2z)(\frac{7}{8}xy + 0,2z)$.
Ответ: $yz^6(\frac{7}{8}xy - 0,2z)(\frac{7}{8}xy + 0,2z)$.