Страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

837. В одном ящике было на 12 кг яблок больше, чем в другом. Когда из первого ящика переложили во второй 4 кг яблок, то оказалось, что масса яблок во втором ящике составила $\frac{5}{7}$ массы яблок в первом.
Сколько килограммов яблок было в каждом ящике сначала?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ кг яблок было во втором ящике первоначально. Поскольку в первом ящике было на 12 кг яблок больше, то его масса составляла $(x + 12)$ кг.

Когда из первого ящика взяли 4 кг, в нем осталось: $(x + 12) - 4 = (x + 8)$ кг яблок.

Эти 4 кг переложили во второй ящик, и в нем стало: $(x + 4)$ кг яблок.

По условию задачи, после этого масса яблок во втором ящике составила $\frac{5}{7}$ массы яблок в первом. На основе этого составим уравнение:

$x + 4 = \frac{5}{7}(x + 8)$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 7:

$7 \cdot (x + 4) = 5 \cdot (x + 8)$

Раскроем скобки:

$7x + 28 = 5x + 40$

Теперь перенесем слагаемые с неизвестной переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$7x - 5x = 40 - 28$

Приведем подобные слагаемые:

$2x = 12$

Найдем $x$:

$x = 12 / 2$

$x = 6$

Итак, мы нашли, что первоначально во втором ящике было 6 кг яблок.

Теперь найдем, сколько яблок было в первом ящике:

$x + 12 = 6 + 12 = 18$ кг.

Проверим решение. Изначально: 18 кг и 6 кг (разница 12 кг). После перемещения: в первом ящике стало $18 - 4 = 14$ кг, во втором $6 + 4 = 10$ кг. Отношение массы второго ящика к первому: $\frac{10}{14} = \frac{5}{7}$. Условие выполняется.

Ответ: сначала в первом ящике было 18 кг яблок, а во втором — 6 кг.

838. Найдите значение каждого из следующих выражений при $a = 1$ и $a = -1$:

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{99} + a^{100};$

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + \dots + a^{98} + a^{99};$

3) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{99} a^{100};$

4) $a a^2 a^3 a^4 \dots a^{98} a^{99}.$

1) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{99} + a^{100}$

При $a = 1$:
Подставляем значение $a=1$ в выражение. Так как $1^n = 1$ для любого натурального числа $n$, мы получаем сумму ста слагаемых, каждое из которых равно 1.
$1^1 + 1^2 + 1^3 + ... + 1^{100} = 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 100$.

При $a = -1$:
Подставляем значение $a=-1$. Степень $(-1)^n$ равна 1, если $n$ — четное число, и -1, если $n$ — нечетное. Выражение принимает вид:
$(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + (-1)^4 + ... + (-1)^{99} + (-1)^{100} = -1 + 1 - 1 + 1 + ... - 1 + 1$.
Это сумма 100 слагаемых. Их можно сгруппировать в 50 пар вида $(-1+1)$. Сумма каждой пары равна 0, следовательно, вся сумма равна 0.
$(-1+1) + (-1+1) + ... + (-1+1) = 50 \cdot 0 = 0$.

Ответ: при $a=1$ значение равно 100; при $a=-1$ значение равно 0.

2) $a + a^2 + a^3 + a^4 + ... + a^{98} + a^{99}$

При $a = 1$:
Аналогично предыдущему пункту, подставляем $a=1$. Выражение представляет собой сумму 99 слагаемых, каждое из которых равно 1.
$1 + 1 + ... + 1$ (99 слагаемых) $= 99$.

При $a = -1$:
Подставляем $a=-1$. Выражение принимает вид:
$(-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 + ... + (-1)^{98} + (-1)^{99} = -1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1$.
Всего в сумме 99 слагаемых. Первые 98 слагаемых можно сгруппировать в $98/2=49$ пар вида $(-1+1)$, сумма которых равна 0. Последнее слагаемое равно $(-1)^{99} = -1$.
Таким образом, значение всего выражения равно $0 + (-1) = -1$.

Ответ: при $a=1$ значение равно 99; при $a=-1$ значение равно -1.

3) $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot ... \cdot a^{99} \cdot a^{100}$

При $a = 1$:
При подстановке $a=1$ выражение становится произведением ста единиц, что равно 1.
$1^1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot ... \cdot 1^{100} = 1$.

При $a = -1$:
Сначала упростим выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot ... \cdot a^{100} = a^{1+2+3+...+100}$.
Сумма в показателе является суммой арифметической прогрессии от 1 до 100. Найдем ее по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$:
$S_{100} = \frac{100(100+1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$.
Выражение равно $a^{5050}$. Теперь подставим $a=-1$:
$(-1)^{5050}$.
Так как показатель степени 5050 является четным числом, результат равен 1.

Ответ: при $a=1$ значение равно 1; при $a=-1$ значение равно 1.

4) $a \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot a^4 \cdot ... \cdot a^{98} \cdot a^{99}$

При $a = 1$:
При подстановке $a=1$ выражение становится произведением 99 единиц, что равно 1.
$1^1 \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot ... \cdot 1^{99} = 1$.

При $a = -1$:
Упростим выражение: $a^{1+2+3+...+99}$.
Найдем сумму показателей — сумму первых 99 натуральных чисел:
$S_{99} = \frac{99(99+1)}{2} = \frac{99 \cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950$.
Выражение равно $a^{4950}$. Подставим $a=-1$:
$(-1)^{4950}$.
Так как показатель степени 4950 является четным числом, результат равен 1.

Ответ: при $a=1$ значение равно 1; при $a=-1$ значение равно 1.

839. Разложите на множители:

1) $3x^2 + 12xy;$

2) $10m^5 - 5m;$

3) $ab - ac + 7b - 7c;$

4) $6x - xy - 6y + y^2;$

5) $49b^2 - c^2;$

6) $p^2 + 12pk + 36k^2;$

7) $100a^4 - \frac{1}{9}b^2;$

8) $25a^2 - (a - 3)^2.$

1) Для разложения на множители данного выражения $3x^2 + 12xy$ необходимо найти и вынести за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем для одночленов $3x^2$ и $12xy$ является $3x$.

Представим каждый член выражения в виде произведения с общим множителем $3x$:

$3x^2 = 3x \cdot x$

$12xy = 3x \cdot 4y$

Теперь вынесем $3x$ за скобки:

$3x^2 + 12xy = 3x(x + 4y)$.

Ответ: $3x(x + 4y)$.

2) Для разложения на множители выражения $10m^5 - 5m$ вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем для одночленов $10m^5$ и $5m$ является $5m$.

Выносим $5m$ за скобки:

$10m^5 - 5m = 5m \cdot 2m^4 - 5m \cdot 1 = 5m(2m^4 - 1)$.

Ответ: $5m(2m^4 - 1)$.

3) Для разложения на множители выражения $ab - ac + 7b - 7c$ применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые, имеющие общие множители.

Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(ab - ac) + (7b - 7c)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $a$, а из второй — $7$:

$a(b - c) + 7(b - c)$.

Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель $(b - c)$, который также выносим за скобки:

$(a + 7)(b - c)$.

Ответ: $(a + 7)(b - c)$.

4) Для разложения на множители выражения $6x - xy - 6y + y^2$ используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$(6x - 6y) + (-xy + y^2)$.

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $6$, а во второй — $-y$:

$6(x - y) - y(x - y)$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$:

$(6 - y)(x - y)$.

Ответ: $(6 - y)(x - y)$.

5) Выражение $49b^2 - c^2$ является разностью квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 49b^2 = (7b)^2$, следовательно $x = 7b$. А $y^2 = c^2$, следовательно $y = c$.

Применяя формулу, получаем:

$49b^2 - c^2 = (7b - c)(7b + c)$.

Ответ: $(7b - c)(7b + c)$.

6) Выражение $p^2 + 12pk + 36k^2$ является полным квадратом суммы. Для его разложения на множители используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

Проверим, соответствует ли выражение этой формуле. Первый член $p^2 = (p)^2$, значит $x = p$. Третий член $36k^2 = (6k)^2$, значит $y = 6k$.

Средний член должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$: $2xy = 2 \cdot p \cdot 6k = 12pk$. Он совпадает со средним членом в исходном выражении.

Следовательно, выражение сворачивается в квадрат суммы:

$p^2 + 12pk + 36k^2 = (p + 6k)^2$.

Ответ: $(p + 6k)^2$.

7) Выражение $100a^4 - \frac{1}{9}b^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 100a^4 = (10a^2)^2$, откуда $x = 10a^2$.

Второй член $y^2 = \frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$, откуда $y = \frac{1}{3}b$.

Подставляем в формулу разности квадратов:

$100a^4 - \frac{1}{9}b^2 = (10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

Ответ: $(10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

8) Выражение $25a^2 - (a - 3)^2$ также является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x^2 = 25a^2 = (5a)^2$, значит $x = 5a$. А $y^2 = (a - 3)^2$, значит $y = a - 3$.

Подставляем в формулу и не забываем про скобки при вычитании:

$25a^2 - (a - 3)^2 = (5a - (a - 3))(5a + (a - 3))$.

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения в каждой из полученных скобок:

$(5a - a + 3)(5a + a - 3) = (4a + 3)(6a - 3)$.

Заметим, что из второй скобки $(6a - 3)$ можно вынести общий множитель $3$:

$(4a + 3) \cdot 3(2a - 1)$.

Для стандартной записи множитель-число ставят в начало:

$3(4a + 3)(2a - 1)$.

Ответ: $3(4a + 3)(2a - 1)$.

840. Решите уравнение:

1) $(x-4)(x+3)=0$;

2) $x^2-81=0$;

3) $7x^2+21x=0$;

4) $9x^2-6x+1=0$;

5) $x(x+7)(3x-2)=0$;

6) $12x^3-2x^2=0.$

1) $(x - 4)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 3 = 0$.
Решая первое уравнение, получаем $x_1 = 4$.
Решая второе уравнение, получаем $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 4.

2) $x^2 - 81 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Мы можем решить его, перенеся 81 в правую часть уравнения:
$x^2 = 81$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:
$x = \pm\sqrt{81}$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.
Альтернативный способ — разложить левую часть по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(x - 9)(x + 9) = 0$
Это приводит к тем же корням: $x=9$ и $x=-9$.
Ответ: -9; 9.

3) $7x^2 + 21x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $7x$ за скобки:
$7x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два возможных случая:
1) $7x = 0$, откуда получаем $x_1 = 0$.
2) $x + 3 = 0$, откуда получаем $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 0.

4) $9x^2 - 6x + 1 = 0$
Это полное квадратное уравнение. Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$, так как $(3x)^2 = 9x^2$, $1^2 = 1$ и $2 \cdot (3x) \cdot 1 = 6x$.
Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
$(3x - 1)^2 = 0$
Это уравнение имеет один корень (кратности 2):
$3x - 1 = 0$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $x(x + 7)(3x - 2) = 0$
Произведение трех множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни:
1) $x_1 = 0$.
2) $x + 7 = 0$, откуда $x_2 = -7$.
3) $3x - 2 = 0$, откуда $3x = 2$, и $x_3 = \frac{2}{3}$.
Ответ: -7; 0; $\frac{2}{3}$.

6) $12x^3 - 2x^2 = 0$
Для решения этого кубического уравнения вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:
$2x^2(6x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $2x^2 = 0$, откуда $x^2 = 0$, что дает корень $x_1 = 0$.
2) $6x - 1 = 0$, откуда $6x = 1$, что дает корень $x_2 = \frac{1}{6}$.
Ответ: 0; $\frac{1}{6}$.

841. Есть $100$ кучек по $100$ монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на $1$ г легче настоящей. Масса настоящей монеты составляет $10$ г. Какое наименьшее количество взвешиваний на пружинных весах со стрелкой надо сделать, чтобы найти кучку из фальшивых монет?

Для того чтобы найти кучку с фальшивыми монетами, достаточно совершить всего одно взвешивание. Вот как это делается:

1. Нужно пронумеровать все 100 кучек от 1 до 100.
2. Из кучки с номером 1 взять 1 монету, из кучки с номером 2 — 2 монеты, из кучки с номером 3 — 3 монеты, и так далее, до сотой кучки, из которой нужно взять 100 монет.
3. Все отобранные монеты положить на пружинные весы и взвесить их все вместе за один раз.

Расчет

Сначала вычислим, какой должна быть масса всех этих монет, если бы все они были настоящими.Общее количество монет, взятых для взвешивания, равно сумме чисел от 1 до 100. Эту сумму можно найти по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$В нашем случае $n=100$, $a_1=1$, $a_{100}=100$.Количество монет = $ \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$ монет.

Масса одной настоящей монеты составляет 10 г. Следовательно, эталонная масса всех отобранных монет, если бы они были настоящими, составила бы:$W_{эталон} = 5050 \times 10 \text{ г} = 50500 \text{ г}$.

Определение фальшивой кучки

По условию, одна из кучек состоит из фальшивых монет, каждая из которых на 1 г легче настоящей.

Если фальшивая кучка имеет номер $k$, это означает, что мы взяли из нее ровно $k$ монет. Каждая из этих $k$ монет на 1 г легче, поэтому общая масса на весах будет на $k$ граммов меньше эталонной.

Таким образом, для определения номера фальшивой кучки нужно из эталонной массы (50500 г) вычесть массу, которую показали весы. Полученная разница в граммах и будет номером кучки с фальшивыми монетами.

Например, если весы показали 50488 г, то разница составляет:$50500 \text{ г} - 50488 \text{ г} = 12 \text{ г}$.Это означает, что фальшивой является кучка под номером 12.

Этот метод позволяет однозначно определить искомую кучку за одно-единственное взвешивание, так как каждой возможной разнице веса (от 1 г до 100 г) соответствует уникальный номер кучки.

Ответ: 1 взвешивание.